tに関する導関数

質問

F(x)=∫[0～x](x-t)sintdt のtに関する導関数を求めよ
という問題がわかりません。
とりあえずそのまま計算してみたのですが
tが消えてxだけの式になり、どうすればいいのかわからなくなりました。
その前に問題の意味もよくわかっていません。
回答宜しくお願いします。

回答No.6

noname#24477 · ベストアンサー

ｘとｔが独立であれば
問題の積分を計算したらｔは消えてしまいます。
（あなたの言うとおり）

それをｔで微分したら０でしょう。

”ｘについて微分せよ”の間違いではありませんか？

お礼

たぶん0で合っているのだと思います。
ありがとうございました。

補足

問題には
「F(x)=∫[0～x](x-t)sintdt のtに関する導関数を求めよ。」
と書いてあります。

回答No.7

endlessriver

＃５です。良く読まず、完全に外してしまいました。
問題のとおりなら、＃１，＃６の方の言うとおりでした。

回答No.5

endlessriver

紛らわしいですね。
今の式を一般化して F(x)=∫[0～x]f(x,t)dt とします。
微分の定義に戻ります。以下の議論は多少、厳密性を省いています。
ΔF(x)=F(x+Δx)-F(x)
=∫[0～x+Δx]f(x+Δx,t)dt -∫[0～x]f(x,t)dt
≒∫[0～x+Δx](f(x,t)+∂f/∂x・Δx)dt -∫[0～x]f(x,t)dt
=(∫[0～x+Δx]f(x,t)dt -∫[0～x]f(x,t)dt) + ∫[0～x+Δx](∂f/∂x・Δx)dt
　ここで、はじめの項は積分範囲の公式により ∫[x～x+Δx]f(x,t)dt ≒f(x,x)Δx　（t→xとなる）
したがって、まとめると
ΔF(x)≒f(x,x)Δx + ∫[0～x+Δx](∂f/∂x・Δx)dt
両辺をΔxでわって
ΔF(x)／Δx≒f(x,x) + ∫[0～x+Δx](∂f/∂x)dt
Δx→０とすると
dF(x)／dx = f(x,x) + ∫[0～x](∂f/∂x)dt
となります。ここで f(x,x)の後のxはtにxを代入したものです。

これを問題に適用すると第1項はf(x,x)=0。
第2項は∫[0～x](∂f/∂x)dt=∫[0～x](sin t)dt
となります。

ただし、以上の式を長々と計算しましたが意味を説明するためでホントはこんなことをせずとも解けます。

積分変数tではxは定数と同じですから
∫[0～x](x-t)sintdt = x・∫[0～x]sin t・dt + ∫[0～x](-t)sin t・dt
のことになり、これは普通にxで微分できます。

補足

最後の式をxで微分するだけでよいということですか？

回答No.4

rabbit_cat

F(x) = x∫sint dt - ∫tsint dt
として、＃２の方の通りですか。

回答No.3

kyoukala_al

今パパッと計算したのでミスってるかもしれませんが、
F(x)=-sinx
となりました。これで解答ではダメですかね？？

回答No.2

hakugen

導関数なので微分をするのだと思います。

F(x)=∫[a～x]g(t)dt　　aは定数

これを微分すると、

f(x)=g(x)

になるというのを見たことありませんか？
これを応用すれば出来ますよ。

お礼

そのやり方で計算すると0になりました。
そのまま計算してxだけの式になったあとにtで微分しても0になったし、
F(x)をtの式(G(t))と考えて
微分のもともとのやり方から、lim[Δx→0]{f(x+Δx)-f(x)}/Δx の式に当てはめて
lim[Δt→0]{G(t+Δt)-G(t)}/Δt として計算しても0になりました。

ありがとうございました。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

問題が間違っているのでしょう。