関数の問題です。答えは解けたのですが詳しく式を書きたいのですが教えてく

質問

関数の問題です。答えは解けたのですが詳しく式を書きたいのですが教えてください。

関数ｆ（ｘ）＝１/(１-３ｘ)に関する次の（１）と（２）に答えよ。
（１）各自然数ｎに対して、関数ｆ（ｘ）の第ｎ次関数ｆ（ｎ）（ｘ）を求めよ。
（２）関数ｆ（ｘ）のｘ＝０におけるテイラー展開（よって、マクローリン展開）を求めよ。

答え
（１）f^(n) = (3^n) n! / (1-3x)^(n+1)
（２）
　1/(1-t) = 1+t+t^2+…
　t=3xのとき
　f(x) = 1+3x+9x^2+… = Σ_{k=0 to ∞} (3^k) (x^k)

宜しくお願いします。

回答No.3

Tacosan

(1) ∫1/(1-3x) ってどういう意味? そして, それで f'(x) と f''(x) がこの形になることはわかったけど, それ以上の高階の導関数が f^(n)(x) = 3^n n! / (1-3x)^(n+1) になることは全く証明されていないよね.
(2) この形だと素直にテイラー展開した方が簡単なんだけどな....
f(x) = Σ(k=0→∞) f^(k)(0) x^k/k!
で (1) から f^(k)(0) = 3^k k! なので x^k の係数は 3^k k! / k! = 3^k.
わざわざ 1/(1-t) = 1+t+... からもっていく必然性はないし, 「なんでべき級数展開が一致するの?」って聞かれたときに困らないか?

回答No.2

Tacosan

(1) は単純に考えれば帰納法で終わり.
(2) はこのままだとまずい. 減点されてもしょうがないし, 「間違い」とされる可能性さえある. 素直に (1) からテイラー展開すべし. あるいは, 最後にべき級数の一意性から「このべき級数がテイラー展開と一致する」と明記する.

お礼

これでどうでしょう
(1)
f(x)=∫1/(1-3x)=?(1－3x)?^(-1)
f’(x) =－1×?(1－3x)?^(-2)×(－3) =3/(1-3x)^2
f’’(x) =－6×?(1－3x)?^(-3)×(－3) =18/(1-3x)^3
f(n) = ((3n) n!)/?(1－3x)?^((n+1))

(2) マクローリンの定理を用いると
1/((1-t))=1+t+t2+…
t=3xのとき
f(x)=1+3x+9x2+…=Σ{k=0→∞}(3k)(xk)
このべき級数がテイラー展開と一致する

回答No.1

Tacosan

それぞれの答がどうして出たのか, 詳しく説明してください.

お礼

似た問題や公式を見つけて答えが分かったのですが、自力で解いたとは言えない状況なので理解していないと思ったからです。