解決済み

確率ですが、ずっと悩んでいます。

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お礼率 66% (2/3)

全部でn種類のシールが1枚おまけでついてくる商品があるとします。どの種類のシールがでる確率もすべて一定とします。このとき、全ての種類のシールを集めるために必要な商品の購買数の期待値は?
期待個数=n×(1+(1/2)+(1/3)+(1/4)・・・・+(1/n))
という結果をみたのですが、どうしても理由が分かりません。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル10

ベストアンサー率 54% (86/158)

 最初の1枚目を引くときはカードは何でも良いので確率は1です。期待値も1になります。
 2個目は、最初の1枚目と違うカードを引く必要があり、その確率は(n-1)/nです。このような確率の期待値は逆数になりますのでn/(n-1)。
同様に、3枚目の期待値はn/(n-2)。

n-3枚を集め終わったとき、残る3枚のどれかを手に入れる確率は(n-(n-3))/n=3/nで、期待値はn/3です。同様に2枚残しているときの期待値はn/2、最後の1枚の期待値はn/1となります。
これらを足して、

期待値=1+n/(n-1)+n/(n-2)+・・・n/3+n/2+n

nでくくると
期待値=n×(1/n+1/(n-1)+1/(n-2)+・・・1/3+1/2+1)

前後を入れ替えると質問の式になります。

ということで説明はよろしいでしょうか?
お礼コメント
hiroshi0405

お礼率 66% (2/3)

当に目からうろこ、納得しました。
ありがとう御座いました。
投稿日時 - 0000-00-00 00:00:00
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