ある専門書の確率問題です。

質問

最大値xが得られまでには何箇所の領域について調べる事になるかを考える。
その数をＮとすると、その確率Ｐ（Ｎ）は初めから（Ｎ－１）箇所まで最大値ａより小さい確率がF(x）であるから、（Ｎ－１）箇所すべてにおいて、最大値xより小さい確率はＦ(x)｝Ｎ－１である。Ｎ番目の領域でxより大である確率は｛１－Ｆ(x)｝である。よって、

Ｐ（Ｎ）＝｛１－Ｆ(x)｝ ・｛Ｆ(x)｝＾（Ｎ－１ ）・・・・１）　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＿
この確率を用いてＮの期待値（Ｎ）を求めると、

＿　　　∞
Ｎ＝ΣN=1　Ｎ・Ｐ（Ｎ）＝Ｎ・{1-F(x)｝・Ｆ(x）｝＾（Ｎ－１） ・・・・２）

＿　　　∞
Ｎ＝ΣN=1 　{Ｆ(x）}＾（Ｎ－１） ＝lim　｛1-Ｆ(x）Ｎ　｝/｛1-Ｆ(x） ｝　・・・・３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　N→∞

ここで、累積分布F(x)＜1であるため式３）は次式で示される。
　＿
∴Ｎ＝１/｛１－Ｆ(x)｝・・・・４）

とあるのですが、２）式から３）式および４）式への展開が理解できません。　

何方か判りやすく説明して頂けないでしょうか。また、これらの式の展開は正しいのでしょうか。もし、間違っているなら、正解を教えて下さい。　　　

宜しくお願い致します。

回答No.1

noname#227064

式の展開があっているかどうかは判別できませんが、答えはあっているようですね。
Nの期待値をE[N]、F(x)をpというように、表記を少々変更させてもらいます。

E[N] = (1-p) + 2(1-p)p + 3(1-p)p^2 + ...
= (1-p)(1 + 2p + 3p^2 + ...)
= (1-p){(1 + p + p^2 + ...) + p(1 + p + p^2 + ...) + p^2 (1 + p + p^2 + ...) +...}

と、

Σ_{i=0}^∞ p^i = 1/(1-p)　（ただし|p|<1）

であることに注意しましょう。
そうすると

E[N} = Σ_{n=1}^∞ n(1-p)p^(n-1)
= (1-p)Σ_{n=1}^∞ np^(n-1)
= (1-p)Σ_{i=0}^∞ p^i Σ_{j=0}^∞ p^j
= (1-p)Σ_{i=0}^∞ p^i/(1-p)
= Σ_{i=0}^∞ p^i
= 1/(1-p)

と計算できます。

お礼

ご丁寧に有難う御座いました。

補足

３）式の｛1-Ｆ(x）Ｎ→（｛1-Ｆ(x）＾Ｎ　｝でしたので修正します。

＿　　 ∞
Ｎ＝ΣN=1 　{Ｆ(x）}＾（Ｎ－１） ＝lim　｛1-Ｆ(x）＾Ｎ　｝/｛1-Ｆ(x） ｝　・・・３）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　N→∞