x≧1の時2(√(x+1)-√x),2(√x-√(x-1)),1/√xの大小関係は

質問

こんにちは。

x≧1の時2(√(x+1)-√x),2(√x-√(x-1)),1/√xの大小関係は?

という問題なのですが
2(√(x+1)-√x) < 1/√x < 2(√x-√(x-1))
という大小関係になると思います。
単に引き算してもなかなか2乗の形に持ってけません。
どうやって証明するのでしょうか?

回答No.1

info22 · ベストアンサー

ヒントのみ
1/√xに着目して
分子の有理化をしてください。
そして、逆数の大小の比較（差をとって比較）してください。
大小関係が決まりますので、その逆数をとってもとの大小関係が決まります。
ただし、不等号の両辺が1より大か、小かを確認して逆数の不等号を考えてください。

結果の大小関係は正しいですね。

お礼

ありがとうごさいました。

できました。

回答No.3

postro

No.2です。結論を間違えました。
誤：よって　A＞C
正：よって　A＜C

誤：よって　C＞B
正：よって　C＜B

お礼

ありがとうごさいました。

できました。

回答No.2

postro

ちょっと強引なやりかたかもしれませんが、
2(√(x+1)-√x)　　・・・A
2(√x-√(x-1))　　・・・B
1/√x　　・・・C
AとCの大小を比較する、(√(x+1)+√x)＞０　をかけても大小関係は変わらない。
A*(√(x+1)+√x)=2(√(x+1)-√x)(√(x+1)+√x)=2
C*(√(x+1)+√x)=(√(x+1)+√x)/√x= 1+√{1+(1/x)}＞2
よって　A＞C
BとCの大小を比較する、(√x+√(x-1))＞０　をかけても大小関係は変わらない。
B*(√x+√(x-1))=2(√x-√(x-1))(√x+√(x-1))=2
C*(√x+√(x-1))=(√x+√(x-1))/√x= 1+√{1-(1/x)}＜2
よって　C＞B