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大小関係
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何を証明するのか、まず、その命題を確定しないと。 ひとつの集合上に、 体の公理を満たす四則演算と全順序とが定義され、 その四則と順序が両立条件 [1] a≦bならば任意のcに対しa+c≦b+c． [2] a≦bならば0≦cであるcに対しac≦bc． を満たすとき、その構造を「順序体」と呼びます。 例えば、実数は順序体です。 「実数の大小関係を複素数の範囲まで広げられない」 とは、実数を部分順序体として含むような全順序を 複素数体上に定義することはできないという意味です。 順序体上では、任意のxについて0≦x^2を証明する ←(＊) ことができますから、複素数体は順序体にはなれません。 (＊)に挑戦してみて下さい。
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- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
No.2 の [2] に a=0 を代入すると、 0≦b かつ 0≦c ならば 0≦bc となる。…[3] これが、正×正＝正 を表す。 No.2 の [1] に b=0, c=(-1)a を代入すると、 a≦0 ならば 0≦(-1)a となる。 これを使って、[3] より、 x≦0, y≦0 ならば、xy=(-1)x・(-1)y≧0 となる。 これが、負×負＝正 を表す。
- dkz
- ベストアンサー率0% (0/1)
虚数単位をｉとします。 ｉを正の数（ｉ＞０）とすると、ｉ＾２＞０となる。（正＊正＝正） ｉを負の数（ｉ＞０）とすると、ｉ＾２＞０となる。（負＊負＝正） ところがｉ＾２＜０であるから、ｉは正でも負でもない。 であるから複素数は実数の大小関係に関与しない。 言葉使いはともかく、こんな感じで。
- Tacosan
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単純な大小関係でよければ広げることができますね. 他の演算との関係を考えなければ.
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