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少し複雑な式の大小関係の出し方
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明白な質問とも取れますが、回答を試みると、真意が計り兼ねるので幾つか書いてみます。 (1)評価(厳密には近似) √15≒4 , √10≒3 と評価すれば、 2+√10≒5 (-3+√15)/2≒0.5 2-√10≒-1 (-3-√15)/2≒-3.5 即ち、(-3-√15)/2<2-√10<(-3+√15)/2<2+√10 しかしながら、こんな事は百も承知と思われるので、次に、普通の考え方で。 (2) 任意の4数ならば、最悪6回の比較になりますが、2次方程式の解である事や、正の数/負の数が判断出来ることを前提に。 (-3+√15)/2 と 2+√10 の比較をするならば、 (-3+√15) と 4+√40 √15 - √40 (負) と 7(正) こんなに速く終わってしまうのは、最初の二つの値の差が大き過ぎるためと思われます。 (-3-√15)/2 と 2-√10 ならば、 (-3-√15) と 4-√40 √40-√15 と 7 55-2√600 と 49 6 と 2√600 これでも、まだ速過ぎます。速過ぎる原因は、偶々出あった問題の4数だから大小関係が題意に含まれていないと思われます。 >>地道に計算。と書いてあるので、(1)(2)どちらを指しているのかはわかりませんが。 (3) 同じ様な問題でも、大小関係が題意に含まれていると思われる問題もあります。 |(x^2)-10x|<x+1 などでは、まともに場合分けをやると、大小関係だけで大変で、絶対値のグラフで切り抜けます。 (4) 数学1の範囲の大小比較は、移項と平方を繰り替えせば殆んど解決できるはずです。それが、かなり近い数値であったとしても。ただし、平方するときは両辺が正になるように前もって移項しておきます。 純粋に大小比較の問題の場合は、√2、√3、√5の値を知っていても使えません。(実際には知っているのですが。) √3-2+√5 と √2-√3+2 √5-√2 と 4 - √12 7- √40 と 28-√768 √768-√40 と 21 808-√122880 と 441 367 と √122880 134689 (大) 122880(小) (5) 数学2では、平方だけでは出来ない問題もありますが、それはまたその時に判ると思います。 (6) 遥か以前のことで、明確な記憶ではありませんが。ある著名な大学で、2数の大小比較の問題が出題されました。いくら有名大学とは言え唖然としました。一見、数学1の範囲に見えるので、計算し始めた所、膨大な計算になってしまい途中で放棄した覚えがあります。あらためて怖さを感じました。 今思うと、まともに計算するのではなく、数値を次々に置き換えて行くと言う、評価/数感覚の問題であったのかとも思います。ここで言う”評価”は日常用語ではなく、数学などで使われる用語です。何となく身に付くことがらです。
2-√10と-3+√15/2 の比較でいいですか? (他は明らかでしょうから) まず、同じような形に変形します。 (-6+10-2√10 )/2 と (-6+√15)/2 となります。 10-2√10 と、√15 の比較をすればよいので、(両方とも正なので)2乗してしまって、 140-40√10 と 15 を比較します。 140-5×8√10 と 140-5×25 として、140以外の部分について -8√10 と -25 を比較すればよいので、 -√640 と-√625 を比較して、右が大きいから、 2-√10<-3+√15/2 こんなもんで、どうですか?
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回答ありがとうございます。 参考になりました。
- info22
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#1さんの整数(√内の数の前後の2乗数とおいて、その開平で求めた前後の整数)で前後を挟む方法 近似値を近似式から求める方法 √a=√(b^2+x)≒b+{1/(2b)}x, b^2 はaに最も近い平方数 √10(=3.162)=√{(3^2)+1}≒3+1/6)*1=3.167 √15(=3.873)=√{(4^2)-1}≒4+(1/8)*(-1)=3.875 この方法は同じ整数範囲で挟まれる2数の比較に便利です。 近似値を挟みうち法で求める方法 (泥臭い方法で開閉計算法を知らない方向き) 3=√9<√10<√16=4 近似値x=3+(10-9)/(16-9)=3+(1/7)≒3.15 3.15^2=9.92 ←小さすぎる 3.16^2=9.99 ←まだ小さすぎるが殆ど近い 3.165^2=10.02 ←大きすぎるが殆ど近い 3.160<x<3.165 といった具合に挟み撃ちで必要な精度まで求めることが出来ます。
お礼
回答ありがとうございます。 参考になりました。
- ency
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たとえば、 -2<2-√10<-1 5<2+√10<6 -4<(-3-√15)/2<-3 0<(-3+√15)/2<1 というように整数との大小を求めます。 そうすると、数直線を書くことができますよね。 で、この大小の求め方ですが、一番上だけやってみますね。 まず、 3<√10<4 は良いですよね? ということは -4<-√10<-3 両辺に2を足して -2<2-√10<-1 同様に他についても、整数との大小を求めることができます。 もっと良い方法があるかもしれませんが、「こんな方法もありますよ」という意味で、参考意見としました。
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お礼
回答ありがとうございます。 奥が深いですね。参考になりました。