式の大小関係

質問

Ａ＝（１－２ｘcosθ＋ｘ＾2）＾2*（１－２ｘcos2θ＋ｘ＾2）の2項に幾何平均と算術平均の大小関係を使って、Ａ≦（１－2/3ｘ（cos2θ+2cosθ）＋ｘ＾2）＾3と本にあるのですがここの意味がよくわからないので解説してください。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

a,b,cの幾何平均(相乗平均):(abc)^(1/3)
a,bの算術平均(相加平均):(a+b+c)/3

a,b,cが全て０以上なら(abc)^(1/3)≦(a+b+c)/3という関係があります。この両辺を3乗すると、
abc≦{(a+b+c)/3}^3
となります。

a=b=1-2xcosθ+x^2=(x-cosθ)^2+(sinθ)^2
c=1-2xcos2θ+x^2=(x-cos2θ)^2+(sin2θ)^2
として、上の不等式を当てはめただけです。

A=abc≦{(a+b+c)/3}^3=(1-2/3x(cos2θ+2cosθ)+x^2)^3
のようになります。

お礼

３つの場合があるんですね。
どうもありがとうございました。

回答No.2

oyaoya65

考えか方
a=１－２ｘcosθ＋ｘ＾2≧0
b=a
c=１－２ｘcos2θ＋ｘ＾2≧0
について
幾何平均と算術平均の大小関係
(a+b+c)/3≧(abc)の3乗根≧0
両辺を3乗して
{(a+b+c)/3}^3≧abc=A
となります。
(a+b+c)/3を計算すると
１-(2/3)x(cos2θ+2cosθ)+x^2
となりますよ。

やってみてください。

お礼

ていねいな回答どうもありがとうございました。