漸化式の不等式

質問

（問題）
正数列｛xn｝　（n=1→∞）

　　n=1 が，任意のn ¸ 1 に対し
（xn + xn+2）／２≦ xn+1
をみたすならば，この数列は単調非減少であることを示せ。

難航しています。この数列をグラフで図解したイメージは
（xn+2- xn+1）≦（xn+1- xn）
より、 xn、 xn+1、 xn+2と順に結んだ線の傾きがあがっていったとしても前の傾きを越えないこと。
いったん下がると前より傾きがあがることはないこと。そしてだんだん下がって正の値が維持できなくなりそうなこと。
これをどう証明するのかヒントを教えてください。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

ヒント(方針?)だけ。

途中で減少する部分があると、
x[n]は途中で負になります。

これは、
＞正数列｛xn｝　（n=1→∞）
と矛盾しています。

お礼

難しく考えすぎました。問題としては簡単ですね、
どうもありがとうございました。

補足

途中で減少する部分）xn+1- xn=－ε（ε＞0とする）があると　　　　
　　（xn+3- xn+2）≦（xn+2- xn+1）≦（xn+1- xn）=－ε　
以後－ε　の積み重ねでｎ*（－ε）→－∞で明らかということですか。