- ベストアンサー
漸化式の不等式
（問題） 正数列｛xn｝ （n=1→∞） n=1 が，任意のn ¸ 1 に対し （xn + xn+2）／２≦ xn+1 をみたすならば，この数列は単調非減少であることを示せ。 難航しています。この数列をグラフで図解したイメージは （xn+2- xn+1）≦（xn+1- xn） より、 xn、 xn+1、 xn+2と順に結んだ線の傾きがあがっていったとしても前の傾きを越えないこと。 いったん下がると前より傾きがあがることはないこと。そしてだんだん下がって正の値が維持できなくなりそうなこと。 これをどう証明するのかヒントを教えてください。
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- 漸化式に平方がでてきて求まらない
a_1=1,a_(n+1)=√(a_n+2) , (n≧1) 問い (1)y=√(x+2), (x≧-2),y=x をグラフに描く (2)２つのグラフの交点のx座標をαとおく、αの値を求めよ (3),(1)を用いて、数列a_nをx軸上に記せ (4)数列a_nは単調増加であることをnに関する帰納法で求め (5)不等式a_n≦α (n≧1)をｎに関する帰納法で求めよ (6)数列a_nの極限を求めよ とあり、１～３までは一応解けたのですが それ以降があまり自信がありません １については、そのまま、平行移動の問題 ２については、連立してα＝２ ３はイマイチわからないのですが、２に収束 ４については、a_ｎが常にa_n≦a_(n+1)になっていくように数学的帰納法で示すのですが （i） n=1,2,3のときは成立している （ii） n=kのとき、a_(k+1)=√（a_k+2）,が成り立つと仮定すると （iii） n=k+1のとき、a_(k+2)=√｛√（a_k+2）+2｝ となり、収拾がつかなくなりました。一度iiiで差を取ってみるも、a_(k+1)-a_kとなりだめでした ５については （i） n=1,2のときは成立している だが、ｎ＝３のとき√（３）+1と２を超えてしまう （ii） n=kのとき、a_n≦α(,が成り立つと仮定すると （iii） n=k+1のとき、a_(k+1)≦α（＝2）、とどう式へんけしていけばいいのかわからず ６については、漸化式を求める際、根号が出てきて公費が分からずa_nが求まりません 特性方程式を解くと２の値が出てくるので、a_(n+1)-2=√{（a_n)-2} 数列a_n-2は初項-1、公比？ 以降が分からずじまい、 数学のできる方教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2つの命題の違いについて
数列{Xｎ}に関する以下の命題を考える。 1．任意の自然数nに対してある正の数Kが存在し、 |Xn|≦Kが成り立つ。 ∀n∈N{∃K＞0；｜Xn｜≦K} 2．ある正の数Kが存在して任意の自然数ｎに対し、 |Xn|≦Kが成り立つ。 ∃K＞0{∀n∈N；｜Xn｜≦K} この2つはどう違うのでしょうか？ どなたか分かる方、具体例を用いながら分かりやすく教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 単調数列の証明問題です
自分なりに、以下の単調数列の証明問題を解いてみました。 間違いがあれば、ご指摘いただけるとありがたいです。 よろしくお願いします。 【問題】 数列{(n-1)/(n+1)}{n=1,2,3,...}は有界な単調数列であるか？ 理由とともに、単調な場合には、単調増加であるか単調減少であるか についても求めよ。 【証明】 まず、単調増加であるかについて証明する。 (n-1)/(n+1) = {(n+1)-2}/(n+1) = 1-{2/(n+1)}と変形させる。 これにより、1より小さいことがわかる。 また、2/(n+1)は単調減少であるため、-2/(n+1)は単調増加である。 よって、1-{2/(n+1)}も単調増加であることが証明される。 次に有界であるかについて証明する。 n→∞とするとき、{1-(1/n)}/{1+(1/n)}→1となる。 よって、1-(n-1)/(n+1) = 2/n+1 > 0とあらわすことができる。 ゆえに、数列{(n-1)/(n+1)}{n=1,2,3,...}は有界な単調数列である。 証明終わり。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- [数列] 単調増加の示し方
数列｛n-1/n+1｝n=1,2,3,・・・は、有界な単調数列であるか？ 理由と共に、単調な場合には、単調増加であるか単調減少であるかについても述べよ。 という問題ですが、単調増加であることは判るのですが、 どのようにもっていけばよいかわかりません。 もし宜しければ、方向性を教えて頂けないでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 有界な単調数列の証明（再掲）
こちらの皆様のご指導のもと、以下の単調数列の証明問題を解いてみました。 証明が変なところがあれば、ご指導よろしくお願いします。 【問題】 数列{ 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }[n=1,2,3,...]は 有界な単調数列であるか？ 理由とともに、単調な場合には、 単調増加であるか単調減少であるかについても求めよ。 【証明】 まず、有界かどうかについて証明する。 n→∞とすると、 lim[n→∞] { 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} } =lim[n→∞] (n-1+2-1)/(n+1) =lim[n→∞] 1-2/(n+1)=1 よって、有界。 つぎに単調増加について証明する。 (n-1)/(n+1) = (n+1-2)/(n+1) = 1-2/(n+1)と変形させることにより、 1より小さいことがわかる。 また、2/(n+1)は単減少であることより、-2/(n+1)は単調増加。 よって、1-2/(n+1)も単調増加であることが証明される。 ∴数列{ 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }[n=1,2,3,...]は、 有界な単調増加である。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の基本的な問題なのですが…
こんにちわ。 自分は数学が本当に苦手で、とある本に書かれたこの問題（答えがないんです）ができないのでとき方と回答を教えて欲しいです… 次の数列、A(n)の極限を、単調減少数列か単調増加数列か調べて、求めろ。 A(1)=3,A(n+1)=2√A(n) まず、単調減少数列という示し方がわからないです…すみません。。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の問題…教えて下さい
以下の問題ですが、どう手をつけていいのかわからずに困っております。どのような方針ですすめればよいのでしょうか？ヒントを下さいませ。 数列{a_n}がa_1 =3, a_{n+1}=√{a_n +2} (n=1,2,…) により与えられるとき以下の問いに答えよ。 (1)すべての番号n=1,2,…に対し,a_n > 2 が成り立つことを示せ. (2){a_n}が単調減少数列であることを示せ. (3){a_n}が収束することを示し,その極限値を求めよ.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 漸化式の問題です＾＾；
問題；各項が正の数である数列{a[n]}は,a[1]=t,a[n+1]=(1/2)*(a[n])^2+1/4で定義されている。またxの２次方程式 x=(1/2)*(x^2)+1/4の２解をp,qとする。p<t<qであるとき,以下の問いに答えよ。 （１）p,qの値を求めよ。 （２）任意の自然数nについて,不等式p≦a[n}≦tが成り立つことを示せ。 （３）lim[n→∞](a[n])を求めよ。 【自分の解答】 （１）は普通に２次方程式解いて、できました。 （２）も数学的帰納法を用いて一応できました。 （３）が全然わかりません…。 はさみうちの原理を用いるのだろうという予想はつくのですが、使い方がいまいちわからなくて＾＾； どなたか教えてください＾＾ｗ よろしくお願いします。（・∀・）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の収束についての質問です。
「数列(An)が単調減少数列で下に有界のとき、lim(n→∞)An=inf(An)」となることは証明できますか？？なんでこうなるのかという疑問があって質問させてもらいました（泣）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学で困ってます、、、
↓この定理の証明がうまくいかなくて困っています。 ｆ(X)→A (X→a) であるための必要十分条件は、Xｎ→a (ｎ→∞) (ただしXｎ≠a)である任意の数列{Xｎ}に対し、ｆ(Xｎ)→A (ｎ→∞)となることである。 この定理の証明がわかる方がいたら教えていただきたいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- おまかせ引越pro2を使用して新しいPCに引越しを行った際、Windowsのボリュームが128GBでありながら空き領域が1GBしかないという問題が発生しています。解決策を教えてください。
- 購入したおまかせ引越pro2を使用してPCを引越しましたが、Windowsのボリュームの空き領域が1GBしかありません。この問題を解決する方法を教えてください。
- おまかせ引越pro2を使って新しいPCに引越しを行った際、Windowsのボリュームが128GBのままで空き領域が1GBしかない問題が発生しました。解決策をお教えください。
お礼
難しく考えすぎました。問題としては簡単ですね、 どうもありがとうございました。
補足
途中で減少する部分）xn+1- xn=－ε（ε＞0とする）があると （xn+3- xn+2）≦（xn+2- xn+1）≦（xn+1- xn）=－ε 以後－ε の積み重ねでｎ*（－ε）→－∞で明らかということですか。