加群の表現論について

質問

ここで質問するのが適当かどうかは分かりませんが、もし分かる方がいたらよろしくお願いいたします。今日明日中に解決しないといけなく、困っています。

TeXの書式に従い書かせていただきます。

\documentclass{jarticle}
\begin{document}
$(\rho, V)$を線型環$A$(複素数体上の多元環)の有限次元表現とする.
$W$を$V$の部分$A$加群($W \ne \{0\}$)とし, $w \in W (w \ne 0)$をとる.
このとき, 任意の$v \in V$に対して$\rho(a)v=w$となるある$a \in A$が存在するならば,
${v \in W}$となり, $W=V$.

この主張の中で
なぜ$\rho(a)v=w$なら$v \in W$がでるのでしょうか.

$W$が$A$加群$V$の部分$A$加群(つまり$A$の作用で閉じている)であるということを使うと思うのですが, うまく思いつきません.
\end{document}

回答No.2

31415926 · ベストアンサー

> このとき上のw,v,aに対し\rho(a) \in GL(V)である,
という所がやや不正確です．
正しくは
>このとき上のw,vに対し\rho(a) \in GL(V)となるaが存在する
だと思います．あとの部分はＯＫです．

では勉強がんばって下さい．

回答No.1

31415926

この主張が正しくないように思います．
反例：
A = C[t]/t^2C[t]
V = A = C[t]/t^2C[t],
\rho は自然な左からの掛け算で定めたもの
W = tC[t]/t^2C[t]
とすると
\rho(t)1 = t \in W ですが，1 \notin W です．

補足

どうもありがとうございます。とても参考になります。
私自身、もうすこし考えてみました.

ここで
\rho : A → End(V) を全単射とする.
(じつは最初からこの仮定があり、これより任意のv \in V に対して \rho(a)v=w なるa \in Aが存在することが出た.)

このとき上のw,v,aに対し\rho(a) \in GL(V)である,即ち\rho(a)^{-1} \in End(V).
\rhoの全射性より,
あるa' \in A が存在して,
\rho(a')=\rho(a)^{-1}

これより,
\rho(a)v=w ⇔ v=\rho(a)^{-1}w
　　　　　　⇔ v=\rho(a')w \in W (WはVの部分A加群 = Aの作用で不変より)

(これよりW=Vとなり,\rhoは既約)

これでどうでしょう？
ここまで、書くと何の定理の証明かが分かってしまったのではないでしょうか(笑)