関数論の質問です。

質問

Z平面上でRez=1を満たすzの描く図形をＡとします。
w=z^2、w=u＋iv(u、vは実数)とします。
zがA上を動くとき、wの描く図形をuv平面上の方程式で教えてください。
また、その方程式をｗとｗ(wの上に-が入ります)で表したものを教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

図形A：
　Rez=Re(x+iy)=x=1(yは任意の実数の範囲)…(1)

w=z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+i2xy=u+iv
∴u=x^2-y^2, v=2xy　…(2)
(1)より
　u=1-y^2 …(3), v=2y …(4)
(4)より y=v/2　(vは任意の実数の範囲(∵yは任意の実数の範囲))
(3)に代入
　u=1-(v/2)^2=1-(1/4)v^2 (vは任意の実数の範囲)　…(5)

(5)が求めるwのuv平面上の方程式である。

次に、wの上に-が入る共役複素数をw~で表せば、
w=u+ivなので w~=u-iv
　u=(w+w~)/2, v=(w-w~)/(2i)=i(w~-w)/2　…(6)

(6)を(5)に代入すると
　(w+w~)/2 = 1+(1/16)(w-w~)^2
∴w+w~= 2+(1/8)(w-w~)^2
これが(5)をwとw~で表したものである。

お礼

ありがとうございます。