仕事に関する問題

質問

早速なのですが質問させてください。
X=Acosωtで単振動しているおもりがあります。
このばねがする仕事を1/4周期ごとに求める問題です。
絵で表すと｜-----○　←こんなかんじです。

仕事は
W=∫F・vdt(積分区間はt1～t2)
又はW=∫F↑dr↑(積分区間はC?)←このCがまずよくわかりません。

F=kXで、
vはXの微分で-Aωsinwtでいいんですよね？
でも、いまいち、dtとdr↑の扱いがわかりません。

もしよろしければ、両方の式の場合でとき方を教えてください。

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

No.1の補足への回答です。

＞W=∫ F・v dt=∫-kA^2sinωtcosωtdt

符号がちがいます。F = - k X = - k A cos ωt, v = - A ω sin ωt なので、マイナス×マイナスで、積分の中の符号は＋になります。

＞t=0→π/(2ω), π/(2ω)→π/ω, π/ω→3π/(2ω), 3π/(2ω)→2π/ωを代入であってますでしょうか？

その方法で合っています。

＞－、－、＋、＋の順でよろしいでしょうか？

その順にはなりません。
計算の前に、バネが物体に及ぼす力Fと、物体の速度vを図示して、各区間で仕事が正か負か調べておくとよいです。Fとvが同じ向きなら仕事が正、逆向きなら仕事が負です。これと計算結果を比べて検算としてください。

t=0では、バネは伸びた状態にあることも注意してください。

（イ）でもぜひやってみてください。実は、三角関数が要らないので（イ）の方が簡単です。（ア）の検算にもなります。

よくわからなかったら補足してください。

回答No.1

shkwta

とりあえず、気がついたことを回答します。
　※[ ]内は積分区間です。F,v,rはベクトルです（ここでは矢印は省略します）。

W=∫[t1→t2] F・v dt　（ア）
W=∫[C] F・dr　　（イ）

この２つは置換積分法で結びついています。つまり、

dr/dt = v

ですから、v dt = dr です。[C]とは、物体が運動する経路（向きのある曲線）です。drは、[C]の微小部分です。

（ア）の式のFは、tの関数です。（イ）の式のFは[C]の各点で与えられている必要があります。
（ア）と（イ）は数学的に同等ですが、計算に必要な情報が異なります。

（ア）は、各時刻の速度と、各時刻の力がわかっていれば計算できます。
（イ）は、経路の各点における力がわかっていれば計算できます。物体が、経路上をどんな速さで動いたかはわからなくてもかまいません。

つぎに、計算法です。

バネが物体に及ぼす力は、F = k Xではなく、F = - k X と書かれるべきです。この場合、Xはバネが自然長のとき0であるとして物体の位置を表わします。Xが正ならFは負方向ですから、マイナスをつけなければなりません。
この式は「経路の各点における力」を表わしますから、（イ）に入れればWを計算できます。
積分区間の[C]は、一次元ですからdrのかわりにdXとして、X=A→0, 0→-A, -A→0, 0→A　の４区間です。

各時刻の速度は、ご質問の通りです。

　v = - A ω sin ωt

各時刻の力は、F = - k X に、X = A cos ωt　を代入すれば求められます。

この２つを（ア）に入れると、Wを計算できます。積分区間は、t=0→π/(2ω), π/(2ω)→π/ω, π/ω→3π/(2ω), 3π/(2ω)→2π/ω　です。

よくわからなかったら、補足してください。

補足

ありがとうございました！
すっごく参考になりました。

つまり、アとイは時と場合で簡単なほうを使えばいいんですね！
今回の場合はアの方が簡単そうなのでそっちでやってみました。

W=∫ F・v dt=∫-kA^2sinωtcosωtdt
=∫-kA^2sin2ωt/2dt
=kA^2cos2ωt/4
でこれに
t=0→π/(2ω), π/(2ω)→π/ω, π/ω→3π/(2ω), 3π/(2ω)→2π/ωを代入であってますでしょうか？
あと、符号は右向きを正として、
－、－、＋、＋の順でよろしいでしょうか？