仕事の問題

質問

力Fベクトル＝（－ky,kx,0）がする仕事を経路C1、C2、C3について求める問題で、経路はC1は(a,0,0)からスタートし、(a,a,0)を通り、(0,a,0)まで動く。
C2は(a,0,0)から(0,a,0)まで、ちょうど半径aの円周の1/4の経路
C3は(a,0,0)から(0,a,0)まで、√2の長さになるような経路
C1の経路長は2a,C2はπa/2,C3は√2

ここで、経路C1の場合、直線x=aに沿ってはFベクトル=(－ky,ka,0)
これは元の力Fベクトルにx=aを代入した結果だということが分かるのですが、y=aに沿っては(-ka,ky,0)これは、y成分の部分がkyとなっています。なぜなのでしょうか。まったくわかりません。

そして、経路C2の場合はx=acosθ、y=asinθとおくと
Fベクトル=(－kasinθ、kacosθ,0)となる。
それで仕事を求めると、
W＝∫0→π/2(Fxdx/dθ+Fydy/dθ)dθ
なぜ、dxやdyがθで微分されているのでしょうか。またその示す意味は何なのでしょうか。

この二つをどなたか教えてくださいお願いします。

回答No.1

yokkun831

>y成分の部分がkyとなっています。なぜなのでしょうか。まったくわかりません。

誤りでしょうね。

>なぜ、dxやdyがθで微分されているのでしょうか。またその示す意味は何なのでしょうか。

仕事は，力と変位の内積の経路積分です。ベクトルを~をつけて表せば，

W = ∫c F~・ds~ （経路Cに沿う経路積分）

ここで，一般に

F~ = (Fx, Fy, Fz)
ds~ = (dx, dy, dz)

とすれば，

F~・ds~ = Fx dx + Fy dy + Fz dz

積分変数変換により，

Fx dx = Fx(θ) dx(θ)/dθ dθ

などとなります。