微分方程式の問題(バクテリア増殖)の意味は?

質問

A population of bacteria grows at a rate proportional to the number present.After two hours,the population has tripled.After two more hours elapse,the population will have increased by a factor of k.What's the value of k?

という問題なのですが
つまり、これはバクテリア数をy、経過時間をxとすると
y=f(x)という関数があって、f'(x)=kf(x)という関係が成立っているという事ですよね。
この微分方程式を解くと、
dy/dx=ky
dy/y=kdx
logy=kx+C
y=Ce^(kx)
f(x)=Ce^(kx)…(*)
今、f(0)=Cなので(*)は
f(x)=f(0)e^(kx)…(**)
と書け、題意から
f(2)=f(0)e^(2k)=3f(0)
即ち、e^(2k)=3
よって、k=log√3で(**)は
f(x)=f(0)e^(xlog√3)と書ける。
これから更に2時間経つと最初から4時間経過した事になるので
f(4)=f(0)e^(4log√3)
よって
f(0)e^(4log√3)÷f(0)=e^(4log√3)
答え e^(4log√3)倍

となったのですが何故か答えは9になっています。
問題を解釈し間違っているのでしょうか?
一体のこのfactor kって何の事を言っているのでしょうか?

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

結果は合ってますが, 式の立て方が違う....
英文を読む限り, この微分方程式に k は出てきません.
まず「バクテリアの増加速度は現在の数に比例する」だから 時刻 t における数を y(t) とおくと y'(t) = c y(t) (c は定数) です. つまり y(t) = y(0) e^(ct).
ここで「2時間たつと 3倍になる」から y(2時間) = 3 y(0) なので e^(2時間 c) = 3. つまり c = log 3 / 2時間 となります.
で「さらに 2時間たったら k倍になる」と書かれているので y(2時間+2時間) = k y(0). で k = e^(4時間 c) = 9 と.

お礼

どうも有り難うございました。

お陰様で参考になりました。

回答No.1

water-cooled

途中はよく見てませんが、
e^(4log√3)=9
なので問題ないのでは。
logの意味を考えてみてください。

お礼

どうも有り難うございました。

お陰様で参考になりました。