数値積分の入門問題なのですが・・・

質問

∫f(x) dx ≒ w_0*f(1/4) + w_1*f(5/6)
積分区間は0 ≦ x ≦１です。
Determine the weights w0 and w1 so that the rule be exact for polynomials of degree as high as possible.とあるので多項式補填を使うのは何となく理解できたのですが、具体的にはどうやればw_0とw_1を求めるのでしょうか？

自信は無いのですが、
w_0 = 1/4　、w_1 = 25/36であっているでしょうか？

もし間違っていたらやり方をどなたか教えてください　＞＜

回答No.2

ninoue · ベストアンサー

始めて見た式で、0,1間の2点を取るのであれば　α,1-α　の２点を取る等もっと適切な点の取り方がありそうには思われます。

それは別問題としてまず最も簡単な常数値の積分を考えると、
w_0+w_1=1　の関係が成立している必要がありそうです。

本当は積算値自体の最適化を考えたい所ですが、一般的には無理ですね。

先ず任意の滑らかな関数について考え、その関数を１次式で近似したとしてその残留誤差の(0,1)間の積算値がゼロになるように近似された場合を考えます。
この場合のw_0,w_1の重みは簡単に求まりますね。

関数の近似式を２次式で考えて積算値を最適化した場合を考えます。

２次式で近似して積算した場合の残留誤差をゼロと置いた式を考えれば良いのではと思われます。

以上の考えから、２次式について、1/4, 5/6での関数値の重み付きの和が　0,1間の積算値と等しくなるように　w_0,w_1の値を決めたら良いのではないでしょうか。

f(x) <=> a +bx +cx^2;
∫(0,1){a +bx +cx^2}dx = a +b/2 +c/3

w_0*(a +b/4 +c/16) +w_1*(a +b*(5/6) +...) = a +b/2 +c/3;

以上の考えから　w_0, w_1　は求まります。

なお次等も参考にして下さい。
Wikipedia:数値積分、近似公式、ガウス求積

お礼

ありがとございました！
教えていただいた通りにしたところ簡単な恒等式が出て来て、解く事が出来ました！！！

回答No.1

Tacosan

それ, どうやって出したの?