円の面積について

質問

円の面積を求める時に円周率を使いますよね。
そして円周率は無限に続きますよね。
って事は、円の正確な面積って求められないんですか？

それとも、円周率が無限に続く以上、正確な真円などと言うものは存在しないのでしょうか？

回答No.7

superjapan

No.5で答えた者です。

では、roop11 さんに質問です。以下の２題についてちょっと考えてみてください。回答は下に書いてしまいますが、見ないでちょっと考えてから見ることをお勧めします。

（問題１）面積が４である正方形は存在するか？存在するなら、その正方形の一辺の長さはいくつか？
（問題２）面積が２である正方形は存在するか？存在するなら、その正方形の一辺の長さはいくつか？

…どうでしょうか？
（問題１）（問題２）どちらの正方形も明らかに存在しますね。しかし、（問題１）の正方形の一辺の長さが２であるのに対して、（問題２）の正方形の一辺の長さはいくつでしょうか？○×○＝２となる数はが見つからないからといって、存在しない理由にはなりませんよね。
表面上は見つからないだけで、存在していることは間違いないのです。しかし、たとえば、「２！」などのようにはっきりと言い切れませんね？当たり前です！だって、この数は無限に続くんですもの…。1.41421356……と無限に続きますよ。無限に続くから、この数は存在しないのでしょうか？そんなことはありません。この数もπ=3.141592653……と同じように、ちゃんと存在するのです。ちなみに、この数を√２と言います。
√２=1.41421356…は面積が２の正方形の一辺の長さですね。
それと同じで、
π=3.141592653…は半径１の円の面積ですね。

「２」は有限で「π=3.141592653…」は無限というものを受け入れがたいのならば、次のように考えてみてはいかがでしょう？
2=2.00000000000000000000000000000000000000000……
と「無限に」続きます。
π=3.14159265358979323846264338327950288419716……
と「無限に」続きます。
どちらも「無限」です。

さて、「2」は存在するのに、「2.00000000000…」は存在しないと言うでしょうか？

計量カップに水をいれて丁度「２」のところに入れたつもりでも、
2.0000000000000000000000000000000000000000３
かもしれませんよ。

π＝3.141592653……
という数も、これと同じです。ただ、これが無限に続くだけです。
目には見えないけれど、確かに存在してますよね。
でも、計算する時、
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941……
のように書くわけにはいきませんから、
「じゃあ、代わりに一言でπと書きましょう！」
ってことなんです。

最後に。
（１）一辺の長さが１である正方形の面積は？　答え。1.00000000…と書くのは無理だから、１と書く。
（２）半径１の円の面積は？　答え。3.141592653…　と書くのは無理だからπと書く。
まあ、こんな感じです。

お礼

回答ありがとうございます。

面積が２の正方形の一辺の長さ・・・
これも無限に続いてしまいますね・・・

面積が2.000000・・・（以下無限）
の正方形は理論上描けないって事でしょうか？
いや、２に限らずどんな数字でも精度を無限に求めたら描けないのか・・・

あ、もしかして、真円って言うのは正無限角形って事なんでしょうか？角を増やせば増やすほど真円に近づいていく。
自然界に存在する円は、限りなく円に近い正多角形？？？
だから究極の真円の場合、直径に対する周の比率である円周率も無限に続いてしまうんですかね？

て事は、自然界に存在する限りなく真円に近い円・・・
これの円周率は有限なんでしょうか？