解き方がわかりません。（たぶん三平方の法則？）

質問

とある東京の、直線道路に、地点Ａ、Ｂ、Ｃがある。
その道路から離れたところに東京タワーがあります。
地点間の距離は
ＡＢ間で２√３ｋｍ、ＢＣ間で２ｋｍで、各地点から
東京タワーを見た時の角度は、地点Ａから３０°
地点Ｃから４５°、地点Ｂからは高層ビルがあり見えません。この時、東京タワーから地点Ｂまでの直線距離は
何ｋｍですか？

私は具体的な解き方が分からなかったので、１：２：√３
の定義が使えるかと思い、１：√３＝Ｘ：２√３として
答えを２と出したのですが、この方法で合ってるのでしょうか？
この問題を読んだだけでは、、東京タワーから地点Ｂへの
線と線ＡＣの交点の角度が９０°とは読み取れないのですよね？となると、上記の定義が本当に成り立っているのかどうかが分かりません。

よい解き方がありましたら教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.4

kenipi · ベストアンサー

答えはあっていますが，おっしゃるとおり東京タワーから地点Ｂへの線と線ＡＣの交点の角度が９０°というのを仮定しているところがおかしいです。

東京タワーをDとし，Dから線分ACへ垂線をおろして
交わった地点をEとしておきます。またもとめる長さ DBを xとします。

ここで線分 DEの長さを y とすると，三角形DECは直角二等辺三角形なので 線分ECの長さもyです。
線分 ACの長さは 2+2√3 なので，線分AEは AC-EC = 2+2√3-yです。

また，三角形DAEは三つの角が 90° 60° 30°なので，DE:AD:AE = 1:2:√3 です。したがって AEは √3・yでもあります。

上記より 2+2√3-y = √3・y
(√3 + 1) y = 2+2√3
y = 2 です。

y =2 なので，線分 AEの長さは √3・y = 2√3 です。
これは線分 AB の長さと同じなので，点Bと点Eは同じ点になります。したがってもとめるべき長さ x = y よって x = 2。

図がないためわかりにくくて済みません。

お礼

なるほど！よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.3

springside

以下のようにして解けますが（無理矢理？）、東京タワーの位置をTとしてTB⊥ACという条件が抜けているような気もします。

（以下、角度を表す「°」は省略します。）
東京タワーの位置をTとし、TB=xとする。

∠TBA=θとすると、∠TBC=180-θである。

△TABを考えて、∠ATB=180-30-θ=150-θ
△TBCを考えて、∠BTC=180-(180-θ)-45=θ-45

△TABに正弦定理を用いると、
　x/sin45 = 2/sin(θ-45)
　∴x = 2/(sinθ-cosθ)・・・(1)
△TBCに正弦定理を用いると、
　x/sin30 = 2√3 / sin(150-θ)
　∴x = 2√3 / (cosθ+√3sinθ)・・・(2)

(1)、(2)より、
　2/(sinθ-cosθ) = 2√3 / (cosθ+√3sinθ)
なので、この式を変形すると、
　cosθ = 0
となるから、θ=90である。

これを(1)に代入して、x = 2

お礼

参考になりました。ありがとうございます！

回答No.2

takachanchan

点Aと点Cの距離は2(1+√3)で、点Aから30°、点Cから45°の点を結んだところを点Dとします。点A,C,Dを結びよく考えると、30°、60°、直角の三角形つまりあなたが言うように1:2:√3の比で表わせますが、問題の数字と比べると２倍の大きさなので2:4:2√3となります。なので、東京タワーから直線道路に垂線を引くと点Bとなるので２が正解です。この問題は解いて初めて東京タワーと点Bが垂直だとわかる問題ですね。

お礼

参考にできました。ありがとうございます！

回答No.1

dido123

東京タワーを仮にＤ点とします。
Ｄ点から直線ＡＣに対し垂直に線を引き、その交点をＥ点とします。
ここで、ＤＥ＝ｘとします。

△ＤＡＥは３０度、６０度、９０度の三角形なので１：２：√３が使えます。

△ＤＥＣは４５度、４５度、９０度の三角形なので１：１：√２が使えます。

高さがｘなので直線ＡＣをｘを使ってあらわすと
√３ｘ＋ｘとなります。
ということは直線ＡＣは２√３＋２なので
√３ｘ＋ｘ＝２√３＋２
ｘ（√３＋１）＝２（√３＋１）
ｘ＝２
となります。正解＾＾

お礼

参考になりました。
ありがとうございます！