渦無しの法則についての質問です

質問

無限に長い直線上に線密度λで一様に分布した電荷が作る電場E(r)を考える。直線から距離aにある点Aから距離bにある点Bまでの線積分∫AB E(r)・dsが距離a,bにのみ依存することを示せ
この問題が分かりません…

回答No.1

info33 · ベストアンサー

E(r)= λ / (2πϵo r)
は半径方向の成分のみであるから,
半径と直角方向の積分経路の線積分は 0 である。

線積分 ∫ AB E(r)・ds = ∫ [a,b] λ / (2πϵo r) dr
= λ / (2πϵo) ∫ [a,b] 1/r dr = λ / (2πϵo) [ln(r)] [a,b]
= λ ln(b/a) / (2πϵo) ... (Ans.)

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