微分方程式

質問

次の条件を満たすみたす３次関数f(x)を求めよ。f(1)=-3,f(-1)=-5,f'(1)=7,f'(-2)=4
この問題で文字が４つも含んでいてどうやって連立すればよいかわかりません。文字がなかなか消えなくて文字の値が出ません。何か良い方法、コツなどがあればぜひ教えてください。

回答No.2

eliteyoshi · ベストアンサー

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
とすると、f'(x)は
f'(x)=3ax^2+2bx+c
です。よって、

f(1)=a+b+c+d=-3　・・・(1)
f(-1)=-a+b-c+d=-5　・・・(2)
f'(1)=3a+2b+c=7　・・・(3)
f'(-2)=12a-4b+c=4　・・・(4)

となります。
(1)-(2)より
a+c=1　・・・(5)
2×(3)+(4)より
6a+c=6　・・・(6)
なるので、(5)と(6)を連立して
a=1,c=0
が求められます。a=1,c=0を(3)に代入すると
b=2
さらにa=1,b=2,c=0を(1)に代入すると
d=-6
となるから答えは

f(x)=x^3+2x^2-6

です。

お礼

詳しい説明ありがとうございました

回答No.3

tarame

文字数を減らしたいなら
f(1)＝-3より
f(x)＝a(x-1)^3＋b(x-1)^2＋c(x-1)－3 とおく。
f'(x)＝3a(x-1)^2＋2b(x-1)＋c

f'(1)＝7 より　c＝7…(1)
f(-1)＝-5 より　-8a＋4b－2c－3＝-5　4a-2b+c＝1…(2)
f'(-2)＝4 より　27a－6b＋c＝4…(3)

これなら、a,b,c は簡単に求められますね。
このあと、代入してｆ(x)を求めるのが、ちょっと大変ですが！！！

お礼

詳しい説明ありがとうございました

回答No.1

physicsache

未知数が４つ。
与えられた条件が４つ。

なので、解けます。

何か難しく考えてないかな？？

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f'(x)=3ax^2+2bx+c

f(1)=a+b+c+d=-3
f(-1)=-a+b-c+d=-5

より、b+d=-4, a+c=1

f'(1)=3a+2b+c=7
f'(-2)=12a-4b+c=4

より、f(x)のほうの条件から、aとc、bとdの関係式が求められてるから、
6a+c=6　と、aとcの関係式を出してやると、答えがだしやすい。

あともう一つ、
3a-2b=-1 も求められるね。

先にaとcが求まるから、次にはbもdも求まってしまう。

お礼

詳しい説明ありがとうございました