常微分方程式の解法を教えてください

質問

関数f(x)が次の微分方程式を満たすとする。

f''+4xyf'+(4x^2+3)f=0

１．f=exp(g(x))とおいてg(x)に関する微分方程式を解け

これは、合成関数なので
f'=g'exp(g(x))
f''=g''exp(g(x))+(g')^2*exp(g(x))
となるので代入すると、うまくexp(g(x))の項が消えて

g''+(g')^2+4xg'=-4x^2-3

となります。

２．fをf(0)=1かつf'(0)=1の条件の下で解け

となってるのですが、初期条件をどのようにしてｇについて解いて
適用していけばいいのか皆目見当がつきません。
詳しい方お願いします。

回答No.3

inara · ベストアンサー

joggingman さんの式 (1) から先をやります。
　　　w' + w^2 + 4*x*w + ( 4*x^2 + 3 ) =0　・・・(1)
　　　→ w' + ( w + 2*x )^2 + 3 = 0 --- (1')
w + 2*x = u　( u は x の関数 ) とおくと、w' = u' - 2 なので式 (1') は
　　　u' + u^2 + 1 = 0
となって x が消えました。

これを変形すると
　　　u' = -( u^2 + 1 )
　　　→ u'/( u^2 + 1 ) = -1 --- (2)
だから、u = tan( v )　( v は x の関数 ) とおくと
　　　u^2 + 1 = 1/cos^2(v)
　　　du = dv//cos^2(v)
なので
　　　 u'/( u^2 + 1 ) = dv --- (3)

式 (2), (3) より
　　　dv = -1　
　　　→ v = -x + C1　　（C1 は定数）
　　　→ u = tan( -x + C1 ) = - tan( x - C1 )
　　　→ w = u - 2*x = - tan( x - C1 ) - 2*x
　　　→ g = ∫w dx
　　　　　　= ∫{ -tan( x - C1 ) - 2*x } dx
　　　　　　= ∫[ { cos( x - C1 ) }'/cos( x - C1 ) - 2*x ] dx
　　　　　　= ln| cos( x - C1 ) | - x^2 + C2　　（C2 は定数）
　　　→ f = exp(g) = | cos( x - C1 ) |*exp( C2 - x^2 )
　　　　　　　　　　　 = exp( C2 )*| cos(x)*cos(C1) + sin(x)*sin(C1) |*exp( -x^2)
　　　　　　　　　　　= | A1*cos(x) + A2*sin(x) |*exp( -x^2)　
　　　　　　　　　　　　ただし A1 = cos(C1)*exp(C2)、A2 = sin(C1)*exp(C2)

問題文で f = exp(g) と置いたので f > 0 を考えて絶対値をつけましたが、絶対値をつけないで f = { A1*cos(x) + A2*sin(x) }*exp( -x^2 )　としても
　　　f'' + 4*x*f' + ( 4*x^2 + 3 )*f = 0
が成り立つので、本来の解は
　　　f = { A1*cos(x) + A2*sin(x) }*exp( -x^2)
だと思いますが。f は f > 0 で定義されているとか問題文に書かれていませんか？やってませんが、f = -exp(g) とおいても、f と f' の符号が反対になるだけなので、同じように解けると思います。

回答No.2

joggingman

y=f(x),z=g(x)とすると、
z''+(z')^2+4xz'+(4x^2+3)=0
がでます。
w=z'とおくと、
w'+w^2+4xw+(4x^2+3)=0　・・・(1)
この微分方程式の特解は、w=ax+bとおいて、a=-2,b=±i
w=φ(x)=-2x±i
(1)はリカッチの方程式だから、
w=φ(x)-u
で(1)を変換すると、uの満たす式は、
u'±iu=u^2 ・・・(2)
これはベルヌーイの方程式だから、v=1/uで置き換えると、
v'±2iv=-1
の線型方程式になるので、vがでます。
exp(±2ix)v=-∫exp(±2ix)dx +C
ここから、
dz/dx=w=(-2x±i)-1/v
y=exp(z)
からyを決めるんでしょうが、計算できるのかどうかは
ちょっとわかりません(^^)

回答No.1

pascal3141

f''+4xyf'+(4x^2+3)f=0の左辺のyがあるので、その後の式変形が違っています。正確な問題文をお願いします。

補足

すみません、入力ミスです

yは実際は付いていません。申し訳ないです。
よろしくお願いします。