０÷０＝０とする矛盾。

質問

もしも、「０÷０＝０」と定義したとすると、数学の計算上で矛盾や不具合が生まれるでしょうか。

こういう矛盾点や不具合があるよ、ということを教えていただけるならば、出来れば具体的例も添えていただけるとうれしいです。

回答No.13

BLUEPIXY · ベストアンサー

>左辺はどうやったら3になるのでしょうか？
色々誤解が生じているようなので、
もう一度
＃４の説明を試みてみます。
（説明が悪くて申し訳ありませんm(_ _)m）
左辺がどうやったら３になるというより
×という演算が
ａ×ｂ→ｃ
（ａにｂを掛けるとｃになる）を意味して
ａ×ｂ＝ｃ
と書くことにします。
この時
ある数ｘにｂを掛けたものがｃになるようなｘを求める演算として
ｃ÷ｂ→ａ
を÷という演算の定義だとして、
ｃ÷ｂ＝ａ
と書くことにします
この演算は結局＃９さんのような（除算でなく）"乗算表"を作成することで求めることができます。
ところが
３×０＝０の時のａ（３）を求める演算
０÷０は３ではなく定義により０になりますね。
なので３＝０になり矛盾するということなのですが、
これは、本来こうした÷０が不定であることを無視して０÷０がある値（０）に限定するということから発生しているものです。

上に述べた演算においても、
ａ×０＝０となるような乗算の逆演算（÷）は、ａが"なんでも成り立つこと"からａは不定であるとしないと
３＝０とか全ての数が０に等しい（全ての数を０にあてはめる行為）ということになってしまいます。
これは、
０÷０を０に限定することは、
０÷０＝０は不定ではないと言っていることと同じであり、
実際には不定なのですから矛盾しています。
１つ注意して頂きたいのは、
等式の両辺を同じ数で割ったり掛けたりできると言うことの意味は、
それが、それが、×÷に関して成立しているからこそできることです。
×とはどういう演算なのか
÷とはどういう演算なのかという
部分の段階にについて
ａ×ｂ＝ｃ
ａ＝ｂ÷ｃ
といっているのであって、実際の計算が普通（常識的に）行われるのと同じにいっているのとはちょっと違います。
つたない説明ですが、こんなもんでどうでしょう？

お礼

わかりやすく解説してくださってありがとうございました。
頭が悪いのに、これはどうだろあれはどうだろうと不思議にばかり思ってしまうので、私の質問は変なものだったと思います。真剣に答えてくださって、本当に感謝しています。

ここにまとめてお礼を申し上げさせていただきます。

回答No.14

Quattro99

なるほど、理解できました。
0を1個集めても3個集めても何十何百個集めても0なのに、0に0が何個はいるかを考えると0個と答えが限定されてしまうのは矛盾だということですね。
ありがとうございました。

お礼

私のつたない質問に、真剣に答えてくださってありがとうごさいました。学校では、教授も友達も、面倒くさがって私の考えを聞いてくれなくなってしまい、深めることが出来ませんでした。
私が傍観者のように言うのもなんですが、お二人のお話し合いのおかげで、たくさんのことを理解し、得ることが出来ました。

ここにまとめてお礼を申し上げさせていただきます。

回答No.12

Quattro99

#11さんへ。
> ０＝０÷０と定義することで、本来不定になる値が限定されていることで矛盾が生じる
私も、たぶん、どこかで不都合が生じるのでそのような定義は具合が悪いのだと思うのですが、その不都合の根拠として#4はおかしいのでは？ということです。

「0÷0=0」と0で割ることを定義したとしても、
0×3=0は
3=0÷0
にならない（左辺が3にはならない）ということを言いたかっただけです。私が思い違いをしているのかも知れませんが、左辺はどうやったら3になるのでしょうか？

回答No.11

BLUEPIXY

#10様
そうですね。
＞そもそも０で割るには意味がないので
という言及は（＃８で）意味がありませんでした。
でも、＃４で０で割るには意味がないといっているわけではありません。
＃８で言いたかったことは、
０÷０＝０を認めると÷という演算が成り立たなくなるということを言いたかったのです。
＃６のように０＝０÷０であることを利用して０を置き換えると式全体は成り立つというのが＃６の主張ですが、そればただ3×0=0を置き換えただけに過ぎません。
私が言っているのは、０＝０÷０と定義することで、本来不定になる値が限定されていることで矛盾が生じることを言ったまでです。
ある場合には、成立しある場合には成立しないというのであれば、そもそも公準として０＝０÷０は採用できない（系として成立しない）ということだと思います。

回答No.10

Quattro99

#8さんへ。
「もしも、0で割ることを定義したら？」という話ですから、「0で割るには意味がない」、「0で割ることはおかしい」というのは、そう定義することのおかしさの根拠にはならないのでは？ということです。

回答No.9

jmh

÷算とは、次のような無限に大きな表であると考えることができると思います。

÷｜　０｜　１｜　２｜ ３ …
－＋－－＋－－＋－－＋－－
０｜　？｜　？｜　？｜
－＋－－＋－－＋－－＋－－
１｜　０｜　１｜　２｜
－＋－－＋－－＋－－＋－－
２｜　０｜ 1/2｜　１｜
－＋－－＋－－＋－－＋－－
３｜　０｜ 1/3｜ 2/3｜
－＋－－＋－－＋－－＋－－
４｜…

÷算の本来の意味を忘れて、あなたの表の？を０に書き換えたとしても、別に構わないと思います。

お礼

回答してくださってありがとうございます。

別に構わないのですか。それも面白いですね。
そういう考え方もあるんですね。参考になりました。

回答No.8

BLUEPIXY

#6様、
等式の両辺を０で割るの意味だと思いますが、
そもそも０で割るには意味がないので
等式の両辺を０で割るのはおかしいと思います。
×（掛ける）という演算に対し、
逆を求める演算が÷（割る）だとすると
つまり
ａ×ｂ＝ｃの時
ある数にｂを掛けてｃとなるようなある数ａを求める演算が÷だとすると両辺を０で割る必要はないですね。
というか一般に結合法則が成り立つとは限りませんしね。

回答No.7

Quattro99

#6です。
どういう不都合があるのか、あまり明快な例を挙げられませんでしたが、「0÷0=0」を定義すると、一般化できなくなる事態が生じるのだろうと思います。それよりも、0で割ることを定義しない方が都合がいいのでしょう（たぶん、#3さんのおっしゃるようなことだと思います）。

#2さんのおっしゃる、
「左辺＝右辺　の場合、左辺と右辺に違う実数をかけたらイコールは成り立たなくなる。」というのは、等式の定義にはないと思います。というか、0=0の両辺に違う実数を乗じても等式は成り立ちますから、その命題自体、間違いだと思います。

回答No.6

Quattro99

文字式で計算をするときに、変数で約分することが出来なくなってしまう（いちいち、変数が0のときと0でないときにわけなければならなくなってしまう）ので不都合そう。
例えば、文字式で計算していくと、y=2x/xとなった場合、グラフが繋がらなくなってしまうので、そのような定義をしない場合に比べてやっかい。

#4さんの回答ですが、「0÷0=0」という定義があるなら、
3×0=0は
3×0÷0=0÷0となるので、
3=0÷0とはならないと思います。
ただ、0で割ることを定義しているのに、0だけ他の数とは同じように扱えないことを示していると思います。

お礼

回答してくださってありがとうございます。

０÷０＝０と定義してしまうのは、やはり不可能なのでしょうか。
面白いかなぁと思ったのですが・・・。

回答No.5

1ppo

あら！！今まで考えもしませんでしたが
矛盾ってあるんですね。

でもそういうもんだ！て思っていれば生
活では困る事はなさそうですね。

回答No.4

BLUEPIXY

以前にされた質問と同じだと思います。
その中で
flwさんが言っている式
０×３＝０の時
３＝０÷０
となり
定義より
３＝０になってしまいます。
これは、矛盾です
というので充分だと思いますが

参考URL：

http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1130662

お礼

回答してくださってありがとうございます。

以前質問したこととは、少し違うつもりでした。