整数問題です。

質問

2以上の整数に対して、方程式
x1+x2+x3+......+xn = x1・x2・x3......・xnの
正の整数解(x1,x2,x3,......,xn)を考える。
任意のnに対して、解は少なくとも一つ存在し、かつ有限個しかないことを証明せよ。

両辺をx1,x2,x3....それぞれで偏微分すれば、関係式らしきものが導出できるのですが、等式が与えられている以上、各項を独立に取り扱っての偏微分は無理で、困っています。よろしくお願いいたします。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

＞ｘは２以上の整数であるため、x(i)=1は不適ではないでしょうか？

これは、
＞2以上の整数に対して、
の部分を受けての事ですよね？
私も最初は、x[i]が２以上なのだと思いましたが、もし、そうだとすると、n≧３の時、解を持たない事が証明できます。

＞x[1]*…*x[n-1]≦n…★
が満たされる必要があるんですが、x[i]が２以上だとすると、左辺の最小値は2^(n-1)となるため、n≧３の時は2^(n-1)＞ｎとなります。(★に矛盾)

なので、
＞2以上の整数に対して、
は「2以上の整数ｎに対して」

という意味だと思って、問題を解きました。

お礼

何度もありがとうございます；；
出題者に確認してみたところ、確かに、２以上はｎにかかっていました。
何度も丁寧なフォローありがとうございます。
とても助かりました！

回答No.2

eatern27

#1です。

じゃぁ、答えを。

x[i]=1　(i=1,2,…,n-2)、x[n-1]=2,x[n]=n
はx[1]+x[2]+…+x[n]=x[1]*x[2]*…*x[n]の解である。
よって、解は存在する。

x[1]≦x[2]≦…≦x[n]…◎
とすると、
(x[1]*…*x[n-1])*x[n]=Σx[i]≦Σx[n]＝nx[n]
よって、x[1]*…*x[n-1]≦n…★

x[1],…,x[n-1]は正の整数であったから、i=1,…,n-1に対して、1≦x[i]≦nが成立する事が必要。

よって、★を満たす正の整数(x[1],…,x[n-1])の組は高々n^(n-1)通り。

この各(x[1],…,x[n-1])に対して、x[1]+…+x[n-1]+x[n]=x[1]*…*x[n-1]*x[n]を満たすx[n]が存在するなら、高々1つである。(x[n]についての1次以下の方程式だから)

よって、x[1]+…+x[n-1]+x[n]=x[1]*…*x[n-1]*x[n]および、◎を満たす正の整数(x[1],…,x[n])の組は高々n^(n-1)通り。

◎の条件がない場合の解は、◎の条件がある場合の解の並び替えであるが、◎の条件がある場合の1つの解に注目した場合、その並び替えは高々n!通りである。

以上より、x[1]+…+x[n-1]+x[n]=x[1]*…*x[n-1]*x[n]の正の整数解(x[1],…,x[n])は高々n^(n-1)*n!通り。故に有限個である。

分からない点があれば、補足してください。

補足

何度も丁寧な解答ありがとうございます。
だいぶ、ぐちゃぐちゃになっていた思考が整理されてきた気がします。
特に、有限個の解の証明は、大納得しました！

はじめの、解の存在確認なんですが、ｘは２以上の整数であるため、x(i)=1は不適ではないでしょうか？

回答No.1

eatern27

ヒント

解が存在することの証明
具体的に解を１つ見つけるのが一番簡単だと思います。

解が有限個である事の証明
x[1]+…x[n]=x[1]…x[n]かつx[1]≦x[2]≦…≦x[n]
の正の整数解が有限個であることを示すといいと思います。
x[1]…x[n-1]x[n]=Σx[i]≦Σx[n]＝nx[n]
というのを使います。

x[1]≦x[2]≦…≦x[n]の条件がない場合の解は、↑の解を並び替えたものなので、当然有限個となります。

お礼

早速のお返事、ありがとうございます。
が、申し訳ありません；；
未熟なため、ヒントだけでは、どうにも先にすすめません；；

よろしければ、もちっと詳しい解説をいただけると助かります。
よろしくお願いいたします。