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整数問題です。
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＞ｘは２以上の整数であるため、x(i)=1は不適ではないでしょうか？ これは、 ＞2以上の整数に対して、 の部分を受けての事ですよね？ 私も最初は、x[i]が２以上なのだと思いましたが、もし、そうだとすると、n≧３の時、解を持たない事が証明できます。 ＞x[1]*…*x[n-1]≦n…★ が満たされる必要があるんですが、x[i]が２以上だとすると、左辺の最小値は2^(n-1)となるため、n≧３の時は2^(n-1)＞ｎとなります。(★に矛盾) なので、 ＞2以上の整数に対して、 は「2以上の整数ｎに対して」 という意味だと思って、問題を解きました。
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- eatern27
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#1です。 じゃぁ、答えを。 x[i]=1 (i=1,2,…,n-2)、x[n-1]=2,x[n]=n はx[1]+x[2]+…+x[n]=x[1]*x[2]*…*x[n]の解である。 よって、解は存在する。 x[1]≦x[2]≦…≦x[n]…◎ とすると、 (x[1]*…*x[n-1])*x[n]=Σx[i]≦Σx[n]＝nx[n] よって、x[1]*…*x[n-1]≦n…★ x[1],…,x[n-1]は正の整数であったから、i=1,…,n-1に対して、1≦x[i]≦nが成立する事が必要。 よって、★を満たす正の整数(x[1],…,x[n-1])の組は高々n^(n-1)通り。 この各(x[1],…,x[n-1])に対して、x[1]+…+x[n-1]+x[n]=x[1]*…*x[n-1]*x[n]を満たすx[n]が存在するなら、高々1つである。(x[n]についての1次以下の方程式だから) よって、x[1]+…+x[n-1]+x[n]=x[1]*…*x[n-1]*x[n]および、◎を満たす正の整数(x[1],…,x[n])の組は高々n^(n-1)通り。 ◎の条件がない場合の解は、◎の条件がある場合の解の並び替えであるが、◎の条件がある場合の1つの解に注目した場合、その並び替えは高々n!通りである。 以上より、x[1]+…+x[n-1]+x[n]=x[1]*…*x[n-1]*x[n]の正の整数解(x[1],…,x[n])は高々n^(n-1)*n!通り。故に有限個である。 分からない点があれば、補足してください。
補足
何度も丁寧な解答ありがとうございます。 だいぶ、ぐちゃぐちゃになっていた思考が整理されてきた気がします。 特に、有限個の解の証明は、大納得しました！ はじめの、解の存在確認なんですが、ｘは２以上の整数であるため、x(i)=1は不適ではないでしょうか？
- eatern27
- ベストアンサー率55% (635/1135)
ヒント 解が存在することの証明 具体的に解を１つ見つけるのが一番簡単だと思います。 解が有限個である事の証明 x[1]+…x[n]=x[1]…x[n]かつx[1]≦x[2]≦…≦x[n] の正の整数解が有限個であることを示すといいと思います。 x[1]…x[n-1]x[n]=Σx[i]≦Σx[n]＝nx[n] というのを使います。 x[1]≦x[2]≦…≦x[n]の条件がない場合の解は、↑の解を並び替えたものなので、当然有限個となります。
お礼
早速のお返事、ありがとうございます。 が、申し訳ありません；； 未熟なため、ヒントだけでは、どうにも先にすすめません；； よろしければ、もちっと詳しい解説をいただけると助かります。 よろしくお願いいたします。
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お礼
何度もありがとうございます；； 出題者に確認してみたところ、確かに、２以上はｎにかかっていました。 何度も丁寧なフォローありがとうございます。 とても助かりました！