高校数学です

質問

(a＋b＋c)^3－a^3－b^3－c^3の式と、x^3(y－z)＋y^3(z－x)＋z^3(x－y)の式を、それぞれ因数分解したいです。どちらかでも大丈夫なので、やり方を教えてください🙇‍♀️

回答No.4

kiha181-tubasa

補足質問への回答です

(b+c)(3a^2+3ab+3bc+3ca)
=3(b+c)(a^2+ab+bc+ca)
　（(a^2+ab+bc+ca)は，aについては２次式ですが，bについては１次式です。bについて整理し直します）
=3(b+c)(b(a+c)+a^2+ca)　（次数の低い文字bについて整理した）
=3(b+c){b(a+c)+a(a+c)}　（bを含まない項も積の形にした）
=3(b+c)(a+c)(b+a)　（a+cを共通因数として出した）
=3(a+b)(b+c)(c+a)　（a→b→c→a……の輪環の順に表した）

以上の事でしょうか。

＞3a^2＋b^2＋c^2＋3ab＋2bc＋3caと、－(b＋c)(b^2－bc＋c^2)の中にある(b＋c)の数が一致しないなと思って。

この疑問の意味が解りませんが……？

回答No.3

kiha181-tubasa

№2です。補足への回答
＞(1)の式が始まってから4行目の{(a＋b＋c)－a}って次の式でどうなりましたか？
そのまま
(a＋b＋c)－a=a＋b＋c－a=b+c
です。

補足

ありがとうございます！何回も質問申し訳ないのですが、(1)の式の10行目からの式→12行目からの式→14行目からの式、にかけては何をしてるのですか？(b＋cを消していると思ったのですが、それだと3a^2＋b^2＋c^2＋3ab＋2bc＋3caと、－(b＋c)(b^2－bc＋c^2)の中にある(b＋c)の数が一致しないなと思って。)

回答No.2

kiha181-tubasa

(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3　……(１)
x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)　……(２)
とでは，基本は同じです。使う公式に違いはありますが，基本は同じです。それは，鉄則「一つの文字について降べきの順に整理する」です。

(１)では，まず次の有名な公式
X^3+Y^3=(X+Y)(X^2-XY+Y^2)
X^3-Y^3=(X-Y)(X^2+XY+Y^2)
を使います。そして，次に鉄則「一つの文字について降べきの順に整理する」を使います。

(２)は鉄則「一つの文字について降べきの順に整理する」をひたすら使います。計算の途中で，「次数の低い文字」が変わるので要注意です。

（１）
(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3
={(a+b+c)^3-a^3}-{b^3+c^3}
={(a+b+c)^3-a^3}-{b^3+c^3}
={(a+b+c)-a}{(a+b+c)^2+(a+b+c)*a+a^2}-(b+c)(b^2-bc+c^2)
（以上は３乗±３乗の公式を使った）
=(b+c){a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+a^2+ab+ca+a^2}-(b+c)(b^2-bc+c^2)
=(b+c)(3a^2+b^2+c^2+3ab+2bc+3ca)-(b+c)(b^2-bc+c^2)
=(b+c){3a^2+b^2+c^2+3ab+2bc+3ca-(b^2-bc+c^2)}
=(b+c)(3a^2+3ab+3bc+3ca)
=3(b+c)(a^2+ab+bc+ca)
=3(b+c)(b(a+c)+a^2+ca)
（以上は，次数の低い文字bについて整理した）
=3(b+c){b(a+c)+a(a+c)}
=3(b+c)(a+c)(b+a)
=3(a+b)(b+c)(c+a)　……(答)

(２)
x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)
（xについて降べきの順に整理します）
=x^3(y-z)+y^3z-y^3x+z^3x-z^3y
=x^3(y-z)-x(y^3-z^3)+y^3z-yz^3
=x^3(y-z)-x(y-z)(y^2+yz+z^2)+yz(y^2-z^2)
=x^3(y-z)-x(y-z)(y^2+yz+z^2)+yz(y+z)(y-z)
=(y-z){x^3-x(y^2+yz+z^2)+yz(y+z)}
=(y-z){x^3-xy^2-xyz-xz^2+yz(y+z)}
=(y-z){x^3-xy^2-xyz-xz^2+y^2z+yz^2}
（{}の中を，次数の低いｙについて降べきの順に整理します）
=(y-z){y^2(z-x)-y(zx-z^2)+x^3-xz^2}
=(y-z){y^2(z-x)+yz(z-x)-x(z^2-x^2)}
=(y-z){y^2(z-x)+yz(z-x)-x(z+x)(z-x)}
=(y-z)(z-x){y^2+yz-x(z+x)}
（{}の中を，次数の低いzについて降べきの順に整理します）
=(y-z)(z-x){-z(x-y)-(x-y)(x+y)}
=(y-z)(z-x)(x-y){-z-(x+y)}
=-(y-z)(z-x)(x-y)(x+y+z) ……(答)

※次数の低い文字について整理するのは因数分解が簡単になるからです。３次式より２次式，２次式より１次式の因数分解が簡単ですね。

補足

こんなに丁寧に教えてくれるなんて…😭ほんとにありがたいです。質問があって、(1)の式が始まってから4行目の{(a＋b＋c)－a}って次の式でどうなりましたか？

回答No.1

aokii

3(a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²)+6abc