力学の問題

質問

物理の力学でわからない問題があるので、物理得意な方お願いします！

以下の問題です。
よろしくお願い致します。

回答No.1

ddtddtddt · ベストアンサー

(1)
　まず重心は、知ってると思いますが、

　　[重心位置] ＝ [物体の各部分の質量] × [物体の各部分の位置] の合計 ／ [物体の質量]．

で出ます。ロープの線密度λ，初期状態で切断面から上の長さπaである事を考慮すると、[物体の質量]はλ･πaで添付図の式(1)の分母，上記の合計は式(1)の分子，初期の重心位置y0は式(1)です。

(2)
　切断面から上のロープの重心は、(1)と同様に計算できます。添付図の式(2)のy(θ)。θすべったときは、質量が(π－a)λ，積分範囲が0 → π－θ に変わるだけです。

　ロープの条件を読むと、切断面から上のロープと下のロープのそれぞれの重心位置に、それらの質量が集中した2つの質点が、重さがなく変形しないロープでつながれて一体となって落下するのと同じです。エネルギー保存則が使えます（摩擦なし）。

　　初期位置で、切断面から上のロープの重心はy0，質量はπaλ。
　　初期位置で、切断面から下のロープの重心は－πa/2，質量はπaλ。

　　θすべったとき、切断面から上のロープの重心はy(θ)，質量は(π－θ)aλ。
　　θすべったとき、切断面から下のロープの重心は－(π＋θ)a/2，質量は(π＋θ)aλ。
　　上記2つに、全体の質量2πaλの速度vの運動エネルギー。

　これらのエネルギーを集計すれば、添付図の式(3)。y0とy(θ)に、式(1)と式(2)の結果を使いvについて解けばOKです。

(3)
　(2)と同じ考えで、2つの質点の間のロープ張力をTとすれば、切断面から上の質点に作用する重力の接線方向分力は、(π－θ)aλg･sinβ。ロープ張力をT，加速度をγとすれば、運動方程式は、

　　(π－θ)aλ･γ＝T＋(π－θ)aλg･sinβ＝T＋aλg･(1＋cosθ)

　βは添付図に示すものです。切断面から下の質点の運動方程式は、一体だから、

　　(π＋θ)aλ･γ＝(π＋θ)aλg－T

　辺々足せば、

　　2πaλ･γ＝aλg (1＋π＋θ＋cosθ)
∴
　　γ＝g (1＋π＋θ＋cosθ)/(2π)

(4)
　(3)より、

　　T＝(π＋θ)aλ(g－γ)＝(π＋θ)aλg(1－(1＋π＋θ＋cosθ)/(2π))

　途中の計算を間違ってなければ(^^;)、こんな感じだと思います。

補足

詳しい解説ありがとうございます！添付図の式(3)について、位置エネルギーの項の符号が左からマイナス、プラス、マイナス、プラスとなっていますがプラス、マイナス、プラス、マイナスではないでしょうか？