ニュートン法(2次)よりも高次収束の漸化式を求める方法は?
ニュートン法はf(x)をテイラー展開した中の初めの2項を用いることで
Xn+1 = Xn - f(Xn)/f'(Xn)
という漸化式を取得します。これは2次に収束する漸化式です。
さらにベイリー法ではテイラー展開の第三項までとニュートン法の漸化式を用い3次収束の漸化式
Xn+1 = Xn - 2f'(Xn)*f(Xn)/(2f'(Xn)*f'(Xn)-f''(Xn)*f(Xn))
を得ています。
という所までは分かり、いざ3次の漸化式を作ろうと思ってもうまくいきません。
例えば
http://www.finetune.co.jp/~lyuka/technote/fract/sqrt.html
にはAの逆数1/Aを求めるための漸化式が5次まで掲載されています。
Aの逆数はf(x)=1-1/(1-Ax)を用いることで2次までは求まります。しかし3次以降をどうやって導くのかが分かりません。どなたか導き方のヒントでも構いませんので教えていただけないでしょうか?よろしくお願いします。
p.s.
平方根の逆数の係数(5/16や35/128など=(2n)!/(n!*n!*2^(n+1))から考えるに
f(x)のn回微分=-n!*a^n*(1-ax)^(-n-1)
とテイラー展開でなんとかなるような気もするのですが...