アークタンジェントの積分

質問

アークタンジェント(x/3)の積分について質問です。

写真のような2パターンのやり方でやったのですが，答えが合いません。解答は左の、logの中身が(1+x^2)のものです。

式の二行目で{1/(1+x^2/9)}が出た後に、分母分子に9をかけて分母から分数を消すかどうかで答えが変わってしまうのですが，何が間違っているのでしょうか？

左の式の三行目、右の式の四行目は、
f‘(x)/f(x)の積分＝logf(x)の公式を用いています。

よろしくお願いします。

回答No.2

gamma1854 · ベストアンサー

繁分数のまま積分したいのであればそうしてください。結果が違うなどということはありえません。
∫(1/3)*xdx/{1+(x/3)^2}
=(3/2)*∫(2x/9)dx/{1+x^2/9}
=(3/2)*log(1+x^2/9)
=(3/2)*log{9+x^2)/9}
=(3/2)*{log(9+x^2) - log(9)}.
----------------------
∫arctan(x)dx=x*arctan(x/3) - (3/2)*log(x^2+9) + C
ですから、任意定数Cがたまたま、-log(3) になっただけです。

お礼

Cに吸収されてしまったということですね！ありがとうございました。

回答No.3

gamma1854

繁分数のまま答えるのなら、
第二項を、
(3/2)*log{1+x^2/9}
とすればよいでしょう。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

gamma1854

普通は「繁分数」のままでは答えません。なるべく簡単で、見やすい形で答えることをいつも考えてください。
部分積分法により計算そのものは簡単に処理できます。
-----------------------------
∫arctan(x/3)dx
=x*arctan(x/3) - (3/2)*log(x^2+9)+C.

補足

繁分数のlog(右の式)とそうではないlog(左の式)数的にはイコールではないですよね？繁分数で答えるにしてもどこが違くて答えが一致しないのかを知りたいです、