数学 積分

質問

数学の積分の問題を解いて教えて欲しいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

(1)
f(x) = (1/2) x^2 - 3a
g(x) = -(1/2)x^2 + 2ax - a^3 - a^2
とおく。
f(x) = g(x) とすると
x^2 - 2ax + a^3 + a^2 - 3a = 0 …(*)
(*) が異なる２つの実数解をもつので、判別式をDとすると D > 0 となる。
D/4 = a^2 - (a^3 + a^2 - 3a) = -a^3 + 3a
D > 0 を解くと
a < -√3 , または 0 < a < √3
aは正なので
0 < a < √3 …答

(2)
(*) の異なる２つの実数解をα , β (α < β) とする。
S(a) = ∫(α→β) { g(x) - f(x) } dx
= ∫(α→β) { - (x - α) (x - β) } dx
= (1/6) (β - α)^3
ここで、(*) を解の公式で解くと
x = a ± √(D/4)
よって
β - α = 2 √(D/4) = 2√(-a^3+3a)
であり、
S(a) = (4/3) (-a^3 + 3a)^(3/2) …答

(3)
h(a) = -a^3 + 3a とおく。
0 < a < √3 において h(a) の値が最大となるときを求める。
h’(a) = -3a^2 + 3 = -3 (a + 1) (a - 1)
増減表をかくことで、 a = 1 のとき最大とわかる。
このとき S(a) も最大であり、その値は
S(1) = (4/3) * 2^(3/2) = 8√2 / 3 …答

お礼

ありがとうございます！