積分です

質問

数三積分の入試問題です。困っています
どなたか丁寧な説明をしてくださると幸いです。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

これだけだと回転体の側面しかできないので体積は求まりませんが、好意的に解釈して

「平面 x=0 , 平面 x=π/4 , および y=1/(cos x)^2 (0 ≦ x ≦ π/4) をx軸周りに1回転させて得られる曲面によって囲まれた体積のこと」
とします。この体積を V とすると

V = ∫(0→π/4) πy^2 dx
= ∫(0→π/4) π*{ 1 / (cos x)^4 } dx
= ∫(0→π/4) π*{ 1 + (tan x)^2 }*(tan x)’ dx
= π [ (tan x) + (1/3) (tan x)^3 ](0→π/4)
= π { 1 + (1/3) - 0 - 0 }
= (4/3) π …答