数3二次曲線の問題です。

質問

公式にいれてみたり、色々考えてみたのですが、分かりません。ご教授ください。

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

№１の方が（３）の具体的な解説をしているので別の観点から回答します。

＞公式にいれてみたり……
公式を頼りにするから解けないのです。
楕円の方程式z^2/a^2+y^2/b^2=1をいくら眺めても，答への道筋すら思い浮かばないでしょう。
必要なのは，「読解力」と「表現力」です。
問題文を読んでその内容を把握して図を描いたり，内容の意味するところを数学的に解釈する……，それがここでいう「読解力」だと思ってください。

例えば（１）の問題で
「円x^2+y^2=1に外接する」＆「直線x=-3に接する」
の２つの条件を
「求める円の中心と原点との距離-（円x^2+y^2=1の半径）」＆「求める円の中心と直線x=-3との距離」
がどちらも求める円の半径となり等しい。
と読み解きます。（読解）
これから，求める円の中心を（X,Y）とするとき
(√(X^2+Y^2))-1=|X-(-3)|
(√(X^2+Y^2))-1=X+3　　（表現）
明らかに円は直線x=-3の右側にあるのでX>-3だから|X-(-3)|=X+3となり
このように条件を等式に表現できたらあとは計算です。
√(X^2+Y^2)=X+4 (>0)
X^2+Y^2=(X+4)^2
Y^2=8(x+2)
Y^2=4*2(x+2) (y^2=4pxにおいてp=2です)
これは放物線Y^2=4*2XをX軸方向に-2だけ平行移動した放物線です。
焦点は（点(2,0)をX軸方向に-2移動した点だから）点(0,0)
準線は（直線X=-2をX軸方向に-2移動した直線だから）X=-4
となります。

（※）公式は使うためにある(確かに小テストレベルの簡単な問題なら公式を使って答を出せますね）と思いたいところですが，「公式は証明されるためにある」と心得るべきです。特に数学Ⅲを学ぶレベルの人はね。入試では公式を使ってすぐ答えが出せる問題は出ません。むしろ，公式を証明する手法が使われる問題が出ます。教科書に出てくる公式をすべて証明してください。学力がつきますよ。

（※）繰り返しになりますが，数学は国語と同じく読解と表現の勝負です。
数学Ⅲで円錐形の容器（底面の半径と高さの関係は与えられます。例えば高さは関係の２倍,h=2r）に一定の速さで水を注ぎ入れるときの水面の面積の広がる速さを求めるという典型的な問題があります。
V=1/3πr^2h=1/3πr^2(2r)=2/3πr^3
「一定の速さで水を注ぎ入れる」から，dV/dt=k(定数)が条件で，これを活かすためと「水面の面積の広がる速さを求める」という目的から
V=2/3πr^3の両辺を「t」で微分して
dV/dt=(2/3)3πr^2*(dr/dt)
これから(dr/dt)が求まってくるのです。

お礼

丁寧な回答、有り難いアドバイスをありがとうございました。
確かに小テストや、定期テストは点数が良いのですが、記述模試など、捻られた問題を出されると手が止まってしまいます。
公式と解答暗記に頼っているからでしょうね…
国語は得意なのでアドバイスを活かしていただきます。
本当にありがとうございました。

回答No.1

gamma1854

重要なことは「２点間の距離公式」です。
たとえば最後の問においてはまず２円のグラフをかき、問題の点を P(X, Y) として題意を等式で表現すると、
√{(X-3)^2+Y^2} - 1 = √{(X+3)^2+Y^2} - 3 ...(*)
となります。これを”必ず”理解してください。
両辺を平方するということを２度くりかえし、
X^2 - Y^2/8 = 1, (1/3≦X)
を得ます。
ーーーーーーーーーー
他も同様でしょう。

お礼

ありがとうございます。
問2も無事解答できました。(x+1)^2/4+y^2/3=1
ですね？
丁寧な対応感謝致します。