解決済み

曲線の長さ

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お礼率 56% (111/196)

x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3)  (a>0)

としたときの曲線の長さはどう出せばよいのでしょうか^^;
媒介変数をtとして、

x=f(t)
y=g(t)

と表せたときの曲線の公式
  α
L=∫ ( ( f'(t) )^2 +( g'(t) )^2 )^(1/2) dt
  β
を使うんですよね?でもコレを使うようにうまく置き換える方法ってのがみつからなくて。
x = t として、無理やり計算しようとしたんですが、計算がやばくなったので途中で断念しました。これで根性でとくしかないのですかねぇ^^;

やりかたのヒントだけでもいいので教えてくれるとうれしいです^^
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

お礼コメント
rousei

お礼率 56% (111/196)

ありがとうございました!
とてもわかりやすいです^^
投稿日時 - 2003-02-04 16:45:04

その他の回答 (全2件)

  • 回答No.1
レベル12

ベストアンサー率 50% (374/740)

x=a・cos^3t[=a・(cost)^3]
y=a・sin^3t
と置いてみて下さい.
お礼コメント
rousei

お礼率 56% (111/196)

アドバイスありがとうございました^^
置いてみたらできました!
投稿日時 - 2003-02-04 16:43:58
  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 28% (36/125)

*****************************************************************************************
<例題>次の式で示される アステロイド の θ=0 から θ=π/2 までの曲線の長さを求めよ。

x=acos3θ, y=asin3θ
*****************************************************************************************

<解答>条件から,x=acos3θ, y=asin3θ

dx/dθ=3acos2θ(-sinθ),dy/dθ=3asin2θ(cosθ)

前例題より,dL/dθ={(dx/dθ)2+(dy/dθ)2}1/2

上の式より,

(dL/dθ)2=(dx/dθ)2+(dy/dθ)2

={3acos2θ(-sinθ)}2+{3asin2θ(cosθ)}

=9a2cos4θsin2θ+9asin4θcos2θ

=9a2cos2θsin2θ(cos2θ+sin2θ)

=9a2cos2θsin2θ

dL/dθ=3acosθsinθ

=3acosθsinθ

=3a(1/2)sin2θ

dL=∫(3a/2)(sin2θ)dθ

L=(3a/4)(-cos2θ)+C

=-(3a/4)cos2θ+C

θ=0 のとき,L=0 から,C=3a/4

L=-(3a/4)acos(2θ)+3a/4

θ に π/2 を代入すると,

L=-(3a/4)acos(2×π/2)+3a/4

=-(3a/4)(-1)+3a/4

=3a/2 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ (答)

http://imai48-hp.hp.infoseek.co.jp/japanese/bibun/no010.html
--------------------------------------------------------------------------------------
ですから、(3a/2)×4=6a
--------------------------------------------------------------------------------------
へこんだ円という印象ですね。図は
http://homepage2.nifty.com/sintakenoko/Cabri/CAsteroid.html
図をかくには
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/index.html
お礼コメント
rousei

お礼率 56% (111/196)

図までありがとうございました^^
投稿日時 - 2003-02-04 16:46:20
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