オイラーの公式を用いた問題

質問

(a) 底eのlog(-1)
(b) √ｊ
をオイラーの公式を用いて求めよという問題です。
おいらーの公式をどう使ってよいのかさっぱわかりません。。。
どうかご教授お願いします。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

オイラーの公式を複素数z=x+jyの極形式に適用すると，

x=rcosθ
y=rsinθ

から

z=r(cosθ+isinθ)=re^{iθ}

となります．

(a)logz=∫_1^zdζ/ζ

においてz平面を実数軸の負の部分に沿って裁断してそれを境界とする領域で考えます．すると，積分路

1+j0→(実軸)→r+j0→(原点中心半径ｒの円)→re^{iθ}

をとると，

logz=∫_1^rdx/x+j∫_0^θdφ=logr+jθ(r>0,-π<θ≦π)

これは主値です．

-1=e^{jπ}

であるから

log(-1)=log1+jπ=jπ

積分路が境界を超えて原点の周りにぐるぐるn回まわると，虚数部分に2nπ(nは整数)がつきます．

log(-1)=j(2n+1)π（答）

(b)2以上の自然数nに対し複素数zのn乗根z^{1/n}は次の式で定義されます．

z=re^{ｊθ}のときz^{1/n}=r^{1/n}e^{ｊθ/n}e^{j2πk/n}(k=0,1,・・,n-1)（n乗するｚになる複素数はn個あります）

e^{j2πk/n}(k=0,1,・・,n-1)は1のn乗根です（覚）．n=2,z=j=e^{jπ/2}のとき，1の2乗根はe^{jπk}=±1であり，

z^{1/2}=j^{1/2}=±e^{jπ/4}=±(cos(π/4)+jsin(π/4))=±(1+j)/√2

すなわち，

√j=±(1+j)/√2（答）

回答No.1

info22_

(a)
log(-1)=log(e^(j(2n+1)π) ←オイラーを適用
=j(2n+1)π　　　　　　　　←オイラーを逆に適用
(nは任意の整数)

(b) √ｊ
√ｊ=(j)^(1/2)=(e^(j(２nπ+(π/2))))^(1/2) ←オイラーを適用
=e^(j(nπ+(π/4)))
=((-1)^n)(1+j)/√2　←オイラーを逆に適用
(nは任意の整数)