三角関数とオイラーの公式

質問

工学関係の計算で下記のような式になりました。
f=cosθ+e＾j(θ+π-Φ)
= cosθ- e^j(θ-Φ)
=1/2(e^jθ+ e^-jθ)- e^j(θ-Φ)
=1/2{(e^jθ+ e^-jθ)- 2e^j(θ-Φ)}
=1/2{(e^jθ+ e^-jθ- 2e^jθe^-jΦ)}
になると思います。
これから先がどうしても整理がつきません。三角関数の倍角か半角の公式
をオイラーの公式で整理するのだと思っているのですが、どうしても思った
形に整理できません。
f=sin(θ-Φ) か f=sin(θ-Φ/2)
ような形になるような気がするのですが。
よろしくお願いします。

回答No.1

BOMBARDMENT · ベストアンサー

私も指数関数の形でまとめようとしてみましたが、うまく行きませんでした。むしろオイラーの公式で右辺の指数関数を三角関数の形にして、実部と虚部に分ければほぼ完成とみて良いのではないでしょうか？

　f=cosθ-cos(θ-φ)+jsin(θ-φ)

あとはsin関数でまとめるとして、cos(A+B)-cos(A-B)=-2sinAsinBを用いて、

　f=2sin(θ-φ/2)sin(φ/2)+jsin(θ-φ)

となりましたが、いかがでしょうか？

お礼

早速の回答ありがとうございます。1ヶ月考えておりましたが、私が考えていたような簡単な式にはやっぱりならないのですね。 等比級数の公式を使うのかとか、いろいろやってみたのですが、だめでした。 残念ですが反対に安心しました。 ありがとうございました。

回答No.3

178-tall

>この計算は力の合成の計算です。
>>f1=cosθ
>f2=e^j(θ+π-Φ)
>f=f1+f2

そのままでは、f1 は実数値、f2 は複素数値、でチグハグな感じ。

たとえば、f1, f2 とも実数表示なら、
　f1 = cosθ
　f2 = cos(θ+π-Φ)
　f = f1 + f2 = cosθ - cosΦ = 2*cos{(θ+Φ)/2}cos{(θ-Φ)/2}

他の解釈は、f1, f2 とも複素数表示の場合。
　f1 = cosθ = {e^(jθ) + e^(-jθ)}/2
　f2 = e^j(θ+π-Φ) = e^(jθ)*{-e^(jΦ)}
ですが、なんとも…。

お礼

おっしゃるとおりで、 複素平面上の話です。 合力の方向が知りたいのですが、θ-Φ/2 のような綺麗な形にはならないようです。 ありがとうございました。

回答No.2

178-tall

f=cosθ+e＾j(θ+π-Φ) の右辺は複素数
　f=sin(θ-Φ) か f=sin(θ-Φ/2) の右辺は実数
ですね。

「工学関係の計算」の途中らしいですが、左辺は複素数、実数のいずれですか？

補足

早速の回答ありがとうございます。 申し訳ありませんが少し補足させていただきます。 この計算は力の合成の計算です。
f1=cosθ
f2=e^j(θ+π-Φ)
f=f1+f2
と言うことです。
f2=e^j(θ+π)
であれば簡単なのですが、-Φが有るので綺麗な形に整理できません。
私の計算だと複雑な結果になってしましました。
f=-jsin(θ-Φ/2)
のような形になるのではないかとズート(1ヶ月)やっていますが、
だめでした。ということです。御質問の答えになったでしょうか。