オイラーの公式を用いた解法？

質問

Rn=1+cosx/2+cos(x^2)/(2^2)+......+cosnx/(2^n)
0≦x<2π
としたとき、極限　lim[n→∞]Rn　を求めよ。

という問題なのですが、オイラーの公式e^(ia)=cosa+isina
を用いて解くとヒントにあったのですがどうすればよいか分かりません。オイラーの公式は理解しているつもりですがこの場合の使い方がピんと来ないので、糸口などあれば教えてください。

回答No.4

proto · ベストアンサー

等比級数は、初項1,公比e^(ix)/2と見た方が楽だと思います。
等比数列の和の公式より
　　An = 1*(1-(e^(ix)/2)^n)/(1-e^(ix)/2)
|e^(ix)/2|=1/2より
　　lim[n→∞]An = 1/(1-e^(ix)/2)
e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)と展開し分母を有理化すると
　　lim[n→∞]An = (2*(2-cos(x))+i*sin(x))/(5-4cos(x))
よって、
　　Rn = 2*(2-cos(x))/(5-4cos(x))
ではないでしょうか？

お礼

なるほど、実部をとるのは分母を有理化したあとでなければならないということですね。

そう考えると、ｘ＝πの値が同じだったのはどうやらe^iπ=-1と実部のみになる為だったようです。

自分でも計算してみましたが同じ結果になりました。ありがとうございました。

回答No.5

zk43

実部、虚部に分けて考えずに、
cosnx=(e^inx+e^(-inx))/2
として、等比級数の２つの和を計算する方が良いのでは？
または、
Tn=1+sinx/2+sin2x/2^2+…+sinnx/2^n
として、
Rn+iTnとRn-iTnをオイラーの公式を使って等比級数にしてそれぞれ
求めて、Rnを連立方程式を解いて求めても良いのでは？
これだと、付随的にsinの方も求まって面白いのでは？
cosの式を考えるときは、sinの方もセットで考えるとうまくゆく時が
よくあります。

お礼

なるほど、sinについても同様ということですね。
オイラーの公式を見るとついそのままの形で使いそうになるんですが
cosx=(e^ix+e^-ix)/2
sinx=(e^ix-e^-ix)/2
という形にしてみることも大事ということですね。むしろこっちの方が使い道が多そうな気がします。

回答No.3

age_momo

e^(ia)=cosa+isina
e^(-ia)=cosa-isina
から
cosa={e^(ia)+e^(-ia)}/2
Rn=1+{e^(ix)+e^(-ix)}/4+{e^(2ix)+e^(-2ix)}/8+・・・・+{e^(nix)+e^(-nix)}/2^(n+1)
=1/2*Σ[k=0..n]{e^(ix)/2}^k + 1/2*Σ[k=0..n]{e^(-ix)/2}^k

lim[n→∞]Rn=1/2*2/{2-e^(ix)}+1/2*2/{2-e^(-ix)}={4-e^(ix)-e^(-ix)}/{2-e^(ix)}{2-e^(-ix)}
={4-e^(ix)-e^(-ix)}/{4-2e^(ix)-2e^(-ix)+1}=(4-2cosx)/(5-4cosx)

お礼

そうでした、cosをexpで表す式に変形できたのでしたね。
これなら直接代入しても大丈夫ですね。ありがとうございます

回答No.2

proto

zの実数部をRe(z)と書いたとき。
Re(e^(ia))=cos(a)より、

　　An = 1+e^(ix)/2+e^(2ix)/(2^2)+...+e^(nix)/(2^n)
と置くと、
　　Re(An) = Rn

ところで
　　An = 1+e^(ix)/2+(e^(ix)/2)^2+...+(e^(ix)/2)^n
　　　 = Σ[k=0～n]{(e^(ix)/2)^k}
のようにAnは等比数列の和になっているから、簡単にその和が書き下せる。
よって
　　lim[n→∞]Rn = lim[n→∞]Re(An)
と考えることで、答えを求められる。

お礼

回答ありがとうございます。
An=1+Σ[k=1～n]{e^(ix)/2}^k
=1 + e^(ix)/2 * (1-r^n)/(1-r) [r=e^ix/2]

より

lim[n→∞]Rn = lim[n→∞]Re(An) = 1 + cosx/(2-cosx)

という答えが出ましたが、x=πで検算したところあっていたのですがx=π/2だと違っていました。和の公式の使い方はあっていると思うのですが正しい答えはどうなのでしょうか？

回答No.1

bbbbcc

Rn=1+cosx/2+cos(x^2)/(2^2)+......+cosnx/(2^n)
って規則性ありますか？？
もし第3項が間違えてるとするなら、
rn=sinx/2+sin(2x)/(2^2)+......+sin(nx)/(2^n)
としてi×rnを足してみて等比級数の和使って
実数取ると良いような気がします。

お礼

Rn=1+cosx/2+cos(2x)/(2^2)+......+cosnx/(2^n)

の間違いでした。すみません。
なるほど等比級数の和を使えば解けそうですね。やってみます