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回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

以下ωをwと書く。

(1) 1 - w^3 = (1-w)(1+w+ w^2) = 0. w=1なら1+w+w^2 = 3≠0であるからw≠1であるので、1-w≠0であるから、1+w+w^2 = 0が得られる。
(2) (1+w)^(3n) = (-w^2)^(3n) = ((-1)^(3n)) (w^(6n)) = ((-1)^n) ((-1)^(2n)) ((w^3)^2n) = (-1)^n
(3)
以下 nCr = [n, r] と書く。
上：
Σ[0≦k≦n-1] [3n, 3k+2] = Σ[0≦k≦n-1] [3n, 3n - 3k - 2]
t = n - 1 - k <=> k = n - 1 - t として、
Σ[0≦k≦n-1] [3n, 3n - 3k - 2] = Σ[0≦t≦n-1] [3n, 3n - 3(n-1-k) - 2]
= Σ[0≦t≦n-1] [3n, 3k+1] から導かれる。
下：
(1+w)^3n = (-1)^nの左辺は、二項定理から
Σ[0≦k≦n] [3n, 3k] w^(3k) + Σ[0≦k≦n-1] [3n, 3k+1] w^(3k+1) + Σ[0≦k≦n-1] [3n, 3k+2] w^(3k+2)
=Σ[0≦k≦n] [3n, 3k] + w Σ[0≦k≦n-1] [3n, 3k+1] + w^2 Σ[0≦k≦n-1] [3n, 3k+2]
= Σ[0≦k≦n] [3n, 3k] + w Σ[0≦k≦n-1] [3n, 3k+1] -(1+w) Σ[0≦k≦n-1] [3n, 3k+2]
= Σ[0≦k≦n] [3n, 3k] + w Σ[0≦k≦n-1] [3n, 3k+1] -(1+w) Σ[0≦k≦n-1] [3n, 3k+1]
= Σ[0≦k≦n] [3n, 3k] - Σ[0≦k≦n-1] [3n, 3k+1]
となるから従う。

回答No.3

tmppassenger

あ、(1) は 1-w^3 = (1-w) (1+w+w^2) = 0だけでよかったのでした。

回答No.1

asuncion

(1)
1 + ω + ω^2 = 0より、ω^2 = -ω - 1
ω^3 = ω・ω^2 = ω(-ω - 1) = -ω^2 - ω = ω + 1 - ω = 1

(2)
(1 + ω)^3 = 1 + 3ω + 3ω^2 + ω^3 = 2 + 3(ω + ω^2) = 2 + 3(ω - ω - 1) = 2 - 3 = -1
辺辺n乗して、(1 + ω)^3n = (-1)^n