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素数の概念を自然数以外の数に拡張できるか
たとえば整数以外の数なども対象にできるのでしょうか。
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ちょっと答えになっているかが分からないが... 足し算、引き算、掛け算が出来る「世界」のことを、数学では「環」といっています。例えば、（普通の）整数全体も「環」の一つで、「有理整数環」といっています。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0#%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%A7%8B%E9%80%A0 （今は掛け算について、交換則がなりたつもの、つまり ab=ba が成り立つものを考えます。） で、ある一つの環Rを考えた時に、環Rの要素aで、ab=1となるようなbが存在するものを「可逆元（単元）」と言っています。有理整数環の場合は、可逆元は1と-1だけです。 そして、Rの要素aで、0でも可逆元でもなく、さらにaを割り切るものが、「可逆元」か、「a自身」か、もしくは「aに可逆元を掛けたもの」しか存在しないものを、「既約元」といっています。有理整数環においては、既約元は素数、もしくは素数の-1倍のどれかになります。 そこで、今までは整数全体（有理整数環）で話をしていましたが、『別の世界』（環）で同様の議論をしてみます。 今度は、2つの整数a, bを用いて a + bi (iは虚数単位)と表せる数全体を考えます。これを「Gauss整数環」といっています。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E6%95%B4%E6%95%B0 整数n は n + 0iと書けるので、有理整数環（整数全体）は自然にGauss整数環に含まれます。このGauss整数環における可逆元は 1, -1, i, -iの4つあります。 さて、このGauss整数環における『既約元』、つまり約数が可逆元か、自分自身か、自分自身に可逆元を掛けたものしか存在せず、かつ自分自身は可逆元でも0でもないものは何かを考えます。 例えば、3は有理整数環では既約元でしたが、Gauss整数環でも既約元です（何故かは考えてみてください）。一方、5は有理整数環では既約元でしたが、『Gauss整数環では既約元ではありません』。なぜなら 5 = (1+ 2i) (1-2i) と、5はGauss整数環では更に『素因数分解できる』からです。ここで、1+2i, 1-2iはGauss整数環における既約元になっています。 このように、素数の概念を、色々な数学の『世界』（『数』の集まり）に適用することはよくやっています。ここでは、どのような『世界』を考えるかが重要になってきます。
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0.7は自然数ではないので、素数ではない。
お礼
素数の概念を自然数以外のものに拡張できないのでしょうか。
- fjnobu
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素数とは 「1と自分自身以外に約数を持たない数」 なので、概念ならどのように考えることも可能なので、自分が考えるなら、どんなに広げるのも良いと思います。
お礼
私の理解では素数の現在の定義はそのままにして自然数以外の数も対象にできるかどうかが拡張するというご教示のような大それたことを考えてはいません。ということになるのではと考えます。たとえば、おえば7を十分の一にしたものなどは素数になるかどうかというようなことです。
お礼
私は理解能力とは無関係に数学にあこがれを持っています。ご教示も猫に小判の内容ですが、少しでも身につけられるようにしたいと思います。