数学の問題です

質問

sinθ(sinθ+cosθ)=2cos^2θを満たすθは0°≦θ≦180°の範囲に2つあるそれらをθ1、θ2(θ1<θ2)とするとき、cosθ2の値を求めよ。この問題で、
sinθ(sinθ+cosθ)=2cos^2θ
sin ^2θ+sinθcosθ-2cos ^2θ=0
(sinθ-cosθ)(sinθ+2cosθ)=0
sinθ-cosθ=0またはsinθ+2cosθ=0
sinθ=cosθまたはcosθ=-sinθ/2

このような解き方をしたのですが、この後どうすればいいかわかりません。教えてください！

回答No.3

info33 · ベストアンサー

>この後どうすればいいかわかりません。教えてください！
sinθ=cosθ または sinθ= -2cosθ
0°≦θ≦180° より 明らかに θ ≠ 90°, cosθ ≠0
tanθ=1 または tanθ= -2
θ = 45° (<90°) , arctan(-2)=90°+arctan(1/2) (>90°)
θ1<θ2 より
0°<θ1= 45° <90°<θ2=arctan(-2)=90°+arctan(1/2) <180°
cosθ2=cos(arctan(-2))
= -1/√5 ... (Ans.)

お礼

ありがとうございます！

回答No.4

kiha181-tubasa

高校生ならば，三角関数の合成（単振動の合成）でクリアできますね。
sinθ-cosθ=0またはsinθ+2cosθ=0からの続きです。

（１）sinθ-cosθ=0より
√2sin(θ-45°)=0　　-45°≦θ-45°≦135°
θ-45°=0°
θ=45°

（２）sinθ+2cosθ=0より
√5sin(θ+α)=0　　　α≦θ+α≦180°+α
　（ただし，0°＜α＜90°かつ　sinα=2/√5，cosα=1/√5）
θ+α=180°
θ=180°-α　（0°＜α＜90°）
ここで，-90°＜-α＜0°だから
90°＜180°-α＜180°

（１）（２）の結果と条件θ1<θ2より
θ2=180°-α
このとき
cosθ2
=cos(180°-α)
=-cosα
=-1/√5……答

回答No.2

asuncion

＞θ2 = arctan(-2)
おっと。
cosθ2 = cos(arctan(-2))

回答No.1

asuncion

＞sinθ=cosθまたはcosθ=-sinθ/2
θ = 90°は明らかにこれを満たさないので、θ ≠ 90°、つまりcosθ ≠ 0としてよい。
1)sinθ = cosθのとき
cosθ ≠ 0よりsinθ / cosθ = tanθ = 1
0° ≦ θ ≦ 180°でtanθ = 1となるのは、θ = 45°のとき
2)sinθ = -2cosθのとき
cosθ ≠ 0よりtanθ = -2
これを満たす角は第2象限にあるから45°より大きい。よってこちらがθ2.
tanθ2 = -2より、θ2 = arctan(-2)

補足

sinθ=-2cosθのとき、sinθ／cosθでtanθ=-1/2にはならないのでしょうか？