数学の三角関数の問題です。

質問

数学IIの問題です。

θの動径が第２像限にあり、sinθcosθ＝－１/4であるとき、次の値を求めよ。

(１)sinθ-cosθ

(２)sinθ,cosθ

この問題の解き方がわかりません。

細かく教えていただけましたら幸いです。

申し訳ありませんがよろしくお願いいたします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

θの動径が第2象限にあることから、
0 < sinθ < 1、-1 < cosθ < 0 …… (※)
であることがわかる。

設問1
(sinθ - cosθ)^2を考える。
(sinθ - cosθ)^2
= sin^2θ - 2sinθcosθ + cos^2θ
= 1 - 2sinθcosθ
= 1 + 1/2
= 3/2
sinθ - cosθ = ±√(3/2) = ±√6 / 2
(※)を考慮すると、-6√2は不適。
∴sinθ - cosθ = √6 / 2

設問2
sinθcosθ = -1 / 4 …… (1)
sinθ - cosθ = √6 / 2 …… (2)
(2)より、cosθ = sinθ - √6 / 2を(1)に代入する。
sinθ(sinθ - √6 / 2) = -1 / 4
sin^2θ - √6・sinθ / 2 + 1 / 4 = 0
4sin^2θ - 2√6・sinθ + 1 = 0
sinθ = {√6 ± √(6 - 4)} / 4 = (√6 ± √2) / 4
sinθ = (√6 + √2) / 4のとき、cosθ = (√2 - √6) / 4
sinθ = (√6 - √2) / 4のとき、cosθ = (-√2 - √6) / 4

お礼

！！
とてもわかりやすい回答でした＞＜
細かいところまで納得できました！！

ご丁寧でわかりやすいご回答本当にありがとうございました！！

頑張ってこの先の問題に取り組みます！！

回答No.3

asuncion

おっと失礼。誤字がありました。

設問1
sinθ - cosθ = ±√(3/2) = ±√6 / 2
(※)を考慮すると、-6√2は不適。

こうではなく、
(※)を考慮すると、-√6 / 2は不適。
です。

回答No.2

asuncion

設問2においては、
0 < sinθ < 1、-1 < cosθ < 0 …… (※)

sinθ = (√6 + √2) / 4のとき、cosθ = (√2 - √6) / 4
sinθ = (√6 - √2) / 4のとき、cosθ = (-√2 - √6) / 4
両方とも(※)を満たしているから解としてよい、という吟味をすると
なおよいかもしれません。

お礼

頑張ってこの先の問題に取り組みます！！