数学

質問

解法が思いつきません。
考え方を教えていただけませんか？

回答No.2

staratras

この問題は、接線を固定して正三角形を回転させて考えた方が計算が楽です。

下の図のように中心がO(0,1)にある半径1の円に正三角形ABCが内接している。ここでこの円が正三角形を内接させたままOを中心として回転するものとする。

B(cosx,1+sinx)とすれば（xの範囲を決める必要がありますが省略）、⊿ABCは正三角形だからA(cos(x-2π/3),1+sin(x-2π/3))、C(cos(x+2π/3),1+sin(x+2π/3))である。x軸は常にこの円の接線（接点Pは座標原点）だから、
dA=1+sin(x-2π/3)=1-(1/2)sinx+(√3/2)cosx,
dB=1+sinx,
dC=1+sin(x+2π/3)=1-(1/2)sinx-(√3/2)cosx

ここで、dA,dB,dCはこの順に等比数列だからdA・dC=dB^2
sinx=s ,cosx=c とおいて代入すれば
(1-1/2s+(√3/2)c)(1-1/2s-(√3/2)c)-(1+s)^2=0
(1-1/2s)^2-((√3/2)c)^2-(1+s)^2=0 c^2=1-s^2などを使って整理すると
-3s-3/4=0 ∴s=-1/4,このときc=√15/4 （|s.c|≦1を満たす)
dB=1+s=3/4 答え　3/4

以下は検算です。
dA=1-(1/2)(-1/4)+(√3/2)√15/4=(9+3√5)/8 ,
dC=1-(1/2)(-1/4)-(√3/2)√15/4=(9-3√5)/8 ,
dA・dC=(81-9・5)/64=36/64=9/16=dB^2

回答No.1

xyz73

問題を教えてください。

補足

問題を添付したはずなんですが、すいません

正三角形ABCがあり、その外接円Kの半径は1
Kの点Cを含まない方の弧AB上に点Pをとり、PにおけるKの接線と点A,B,Cとの距離を、それぞれdA,dB,dCとする
dA,dB,dCがこの順に等比数列をなすときのdBの値を求めよ