曲面積計算の問題です。

質問

曲面積計算の問題です

0＜s＜3　のときR³の
曲面　R＝{(rcosθ,rsinθ,x₃) ∈ R³｜(r-3)²+x₃²＝s², 0≦θ＜2π}
の概形を描き、曲面積を求めよ

という問題が解けずに困っています。
どなた解法のわかる方がいましたら教えて頂きたいです。

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

文字を以下のようにします。
R(u, v)=((3+s*cos(u))*cos(v), (3+s*cos(u))*sin(v), s*sin(u)),
0≦u, v≦2pi.
これは「回転面」です。第一基本量を計算すると、
E=(∂R/∂u)・(∂R/∂u)=s^2, F=0, G=(3+s*cos(u))^2. よって、
dS=√(EG-F^2)=s*|3+s*cos(u)|=s{3+s*cos(u)}. (∵ 0<s<3)
これより、
S=∫[0~2pi]{∫[0~2pi] s*(3+s*cos(u))du}dv
=12pi^2*s.
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