弓形の面積を、Ｃ：弓形底辺 ｈ：弓形高さ から求めたい

質問

底辺Ｃ・高さｈの弓形があります。
面積を求めるのに、webで調べたところ
S=面積
α＝角度(DEG)
S = R^2/2(πα/180-sinα)
C = 2Rsin(α/2)
h = R-Rcos(α/2)
という公式が見つかりましたが、この公式だと、α・Ｒ（円半径）が既知でないと求まりません。
Ｃ・ｈの値だけから面積を求める方法は無いでしょうか？

また、とある計算書で、面積＝Ｃ×ｈ×（2/3）として計算してありましたが
これは正しいのでしょうか？概算として使うには充分なのでしょうか？？

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

関数電卓が使えることを前提に書きます。(Windowsならアクセサリーの電卓使ってください)
今、弓形の両端をA,Bその中点をM,Mから上に伸ばして円と交わるところをPとすると
AB=C　　（AM=C/2）
PM=h
ということですね。ところで元の円の中心からA,Pに線を引くとΔOAPは
二等辺三角形で点MはOP上の一点です。
∠APM(=∠APO)は三角関数tanの逆関数arcTanを使うと
∠APM=arcTan(C/2h)
で求まり、∠AOP(=α/2)=π-2∠APM
で求まります。また、これが分かれば
R=C/｛2sin（α/2)}
で求めることができます。

お礼

ご丁寧な回答ありがとうございました。
うんうんうなりながらやって見たところ、うまく行ったようです。
（とりあえずエクセル使いました）

αについては、
　tan∠APM＝(c/2)÷ｈ＝C/2h　なので
　∠APM＝arctan（C/2h）
　α＝2×(180°－2∠APM）　ですね。
Ｒについては
　sin(α/2)＝(C/2)÷Ｒ＝C/2R　なので
　Ｒ＝c／{2sin(α/2)}　ですな。
で、αとＲから公式を使って求めるですね。
なるほどー、どうもありがとうございました（＾－＾）

回答No.5

nakaizu

簡単な式にはなりそうもないですが、やってみますと
R=(C^2+4h^2)/(8h)
となります。また、
sin α=8Ch(C^2-4h^2)/(C^2+4h^2)^2
となりますから、
S=(C+4h^2)^2/(128h^2) (arcsin(8Ch(C^2-4h^2)/(C^2+4h^2)^2)-8Ch(C^2-4h^2)/(C^2+4h^2)^2)
となります。arcsin は逆三角関数です。
arcsin のテイラー展開で近似式を作ると、αが小さいとき
S=2C^3h(C^2-4h^2)^3/(3(C^2+4h^2)^4)
と近似されます。
さらにhがCに比べて非常に小さく、C^2-4h^2≒C^2+4h^2≒C^2
と近似できたとすると、
S=2Ch/3
と近似できます。
というわけで、この近似式はCとhの差がとても大きいときのみ有効な近似式です。

お礼

なるほど！テイラー展開で近似するとはっきりするのですね。
テイラー展開なんて大学で遊びほうけていたから全然わからなかったです・・・（ノ＿・。）
すごいですねー尊敬してしまいます（＾－＾）
どうもありがとうございました！

回答No.4

info22

S=f(C,h)の式は
C=
h=
をRとαの連立方程式と見なして
R=
α=
を求め面積Sの式に代入してR,αを消去すればいいです。
ただその式が複雑になりますので、かえって
C=
h=
の式からC,hを与えて
R,αを求め
そのRとαを
S=
の式に代入した方がずっと簡単で計算が単純になりますよ。

＞とある計算書で、面積＝Ｃ×ｈ×（2/3）として計算してありましたが
＞これは正しいのでしょうか？概算として使うには充分なのでしょうか？？

正しくないですね。
概算としても誤差（1割以上）が大きすぎて使い物になりません。

お礼

ご回答ありがとうございました。
確かにＣとｈの連立方程式になるのですが、三角関数が入っているので、数学苦手な私としては解くのは辛いです（ノ＿・。）
三角関数の定理を使えばうまく消せるのかもしれませんが・・・

誤差については、ANo.5さんも回答くださいましたが
ｈよりＣが相当大きくなれば誤差は小さくなるようです。
Ｃ＞10ｈの条件で誤差１％未満となりました。

実は道路舗装面積の計算書のチェックをしているのですが
面積を分けるのに、大きな弓形部分を、二等辺三角形と、さらに小さな弓形２つに分けていました。
多分誤差を少なくするための処理だと思いますが、公式を使ったほうが精度良く計算できますね（＾－＾）

回答No.2

10ken16

半径をrとすると、
三平方の定理から、
(r-h)^2＋(C/2)^2=r^2

α(rad)=2*atan{C/(2*(r-h))}

ただし、ここから先の計算はちょって…。

お礼

ありがとうございました。
確かにこれで、ｒとαは求まりそうな感じですね。
(r-h)^2＋(C/2)^2=r^2　より
　r^2－2rh＋h^2＋c^2／4＝r^2
　2rh＝h^2＋C^2／4
　r＝h/2＋c^2／8h
ですね。
ANo.3で解いたのと同じ答えになりました。
ありがとうございます（＾－＾）

回答No.1

simaotoko

このサイトに公式あるからためしてみたけど、もとまるんじゃないかな？

http://www.lancemore.jp/mathematics/math_011.html
ｃとｈがわかれば半径rが出せあとは、
面積の式に代入すればでるかとおもいます。
間違っていたらすいません。

参考URL：

http://www.lancemore.jp/mathematics/math_011.html

お礼

ありがとうございます（＾－＾）
この公式を使えば、半径ｒは出ますが、
中心角のθ（質問ではα）が出ないです（ノ＿・。）
中心角を求めるには円弧長Ｌが必要になるので、これも求まらないです・・・