極形式の２乗

質問

z=r(cosθ+isinθ)・・・(1)のとき、|z-i|=1に(1)を代入すると、
|rcosθ+i(rsinθ-1)|=1よって
(rcosθ)^2+(rsinθ-1)^2=1^2 (注)^2は２乗のつもりです。
上の計算は、rcosθ+i(rsinθ-1)×rcosθ-i(rsinθ-1)、|z|^2の公式を使った
でよいのでしょうか。
御指摘お願いします。

回答No.2

bran111

極形式は中心が原点のような場合は見通しがよくなりますが

|z-i|=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1）

のように中心が原点とはずれている場合はむしろ醜くなります。

複素平面に慣れてくると（1）は(0,1)を中心とする半径1の円というのがすぐ見えてきます。

むしろz=x+iyという扱いのほうが

x^2+(y-1)^2=1

が見やすいように思います。

なお、z=x+iyのとき|z|=√(x^2+y^2)、|z|^2=x^2+y^2であって、

z^2=x^2-y^2+2ixy

|z^2|^2=(x^2-y^2)^2+(2xy)^2=x^4+2x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)^2

|z^2|=|z|^2=x^2+y^2

を確認してください。

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.1

atkh404185

ｚ＝ａ＋ｂｉ　のとき、

│ｚ│＝√(ａ^2＋ｂ^2)

│ｚ│^2＝ａ^2＋ｂ^2

だから、

|z|^2の公式を使ったでよいと思います。

お礼

お返事ありがとうございます。