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- alice_44
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A No.1 の記号で、 A = 扇形の面積 - 二等辺三角形の面積 = (r^2)(θ/2) - (r sin(θ/2))(r cos(θ/2)) = (1/2)(r^2)(θ - sinθ). ←[1] h = 半径 - 二等辺三角形の高さ = r - r cos(θ/2). です。 方程式 [1] を解いて h の値を求めればよいのですが、 [1] から θ を消去して h の方程式にすると 逆三角関数が式に入ることになるので、容易には解けません。 解析解は無理で、数値算法で近似値を出すしかなかろう と思います。 [1] をニュートン法で解いて、一旦 θ を求めるのが よろしいかと。
求める高さをhとします. 扇形の面積A-(2辺の長さがともにrの二等辺三角形の面積) 弧の両端を結ぶ線分の長さをc, 扇形の角度をθとします. A=(1/2){ rl - c(r-h) } c = 2√{h(2r-h)} c^2 = 4h^2(2r-h^2) r = (c^2 + 4h^2)/(8h) l=rθより, θ=l/r また, A=πr^2(2π/θ) θ=2π^2/A よって, l/r=2π^2/A l={2(π^2) r}/A 2A = r{2(π^2) r/A} - c(r - h) h +r = 2A - r{2(π^2) r/A}/c h = 2A - r{2(π^2) r/A}/c - r 三角形の面積=r*(rsinθ)/2 ...(1) 余弦定理より, c^2 = r^2 + r^2 -2(r^2)cosθ c^2 = r^2(1-2cosθ) ...(2) 三角形の面積=c*(r-h)/2 ...(3) (1)=(3)より, {(r^2)sinθ}^2= {c*(r-h)}^2 r^4 sinθ^2 = c^2 (r^2 -2rh +h^2) r^4 sinθ^2=r^2(1-2cosθ)(r^2 -2rh +h^2) r^2sinθ^2 = (1-2cosθ)(r^2-2rh+h^2) r^2(1-cosθ^2)=(1-2cosθ)(r-h)^2 r^2cosθ^2 -2(r-h)^2cosθ-r^2+(r-h)^2=0 r^2cosθ^2 -2(r-h)^2cosθ+h^2 -2rh = 0 cosθ={(r-h)^2±√(r-h)^4-r^2(h^2 -2rh)}/r^2 ...(4) 2A = r{2(π^2) r/A} - c(r - h) ...(5) (2),(4),(5)より, hが出ます. 気の遠くなるような計算式になるので,ここで止めます. もっと簡単に出せる方法もあるのでしょうが,思い付きません.
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