√(2x+3)/(x+4)^2(x+1)の微分

質問

√(2x+3)/(x+4)^2(x+1)の微分の途中式を詳しく教えてください。
商の関数式をベースに積の関数式にも注意しながら解いてみたのですが、途中でまとめ方が悪いのか符号を間違えているのか、解答とあいません。
与式=
{√(2x+3)}’{(x+4)^2(x+1)}-√(2x+3){(x+4)^2(x+1)}’/{(x+4)^2(x+1)}^2
=1/2•(2x+3)^-1/2•{(x+4)^2(x+1)}-√(2x+3){2(x+4)(x+1)+(x+4)^2}/{(x+4)^2(x+1)}^2
ここまで、やってみたのですが、この後どうまとめれば良いのかわかりません。
分子の最初の√(2x+3)は分母になるとおもうのですが、分子後半の√(2x+3)をどのように処理すれば良いのかわかりません。
どうかよろしくお願いします。
回答は、
-5x^2+16x+14/√(2x+3)(x+4)^3(x+1)^2
になっています。

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

y=(2x+3)^(1/2)*(x+4)^(-2)*(x+1)^(-1)=A^(1/2)*B^(-2)*C^(-1) であるとします。このとき、
dy/dx=A^(-1/2)*B^(-2)*C^(-1) + A^(1/2)*(-2)B^(-3)*C^(-1) + A^(1/2)*B^(-2)*(-1)C^(-2). ですから、A^(-1/2)*B^(-3)*C^(-2) でくくってください。これを除いた部分は、
B*C -2*A*C - A*B=-5x^2-16x-14.
すなわち、
dy/dx=-(5x^2+16x+14)/{(x+4)^3*(x+1)^2*√(2x+3)}.
※１行で書く場合、この場合は分子(多項式)に要かっこ。(加減は乗除に優先しません)
--------------
あるいは、対数微分法による計算もＯＫです。
ln|y|=(1/2)*ln|A|-2*ln|B|-ln|C| ゆえ、
y'/y=1/A - 2/B - 1/C.
※通分が面倒ですが。

お礼

お返事が遅くなり、申し訳ありません。また、回答して頂き有難うございました。回答して頂いたように、自分でもう一度確認してみて、自分の間違っていた所に気がつくことができました。くくり出した後の残りの部分の指数の計算を間違えていたことに気がつくことができ、今後に生かすことが出来ると思います。
丁寧な説明本当にありがとうこざいました。