y=(e^x+e^-x)/(e^x-e^-x)

質問

y=(e^x+e^-x)/(e^x-e^-x)の微分を求めるとき、導関数の商の公式を使いストレートに問題を解き解答を求める事は出来たのですが、別の解き方を見てみると、その途中式が理解できません。
よろしければ、詳しい解説お願いします。
y=(e^x+e^-x)/(e^x－e^-x) ← 分母・分子に e^x を掛ける
=(e^2x+1)/(e^2x－1)＝1＋2/(e^2x－1)
y´=－2(e^2x－1)´/(e^2x－1)²
=－2・2e^2x/(e^2x－1)² ← 分母・分子を e^2x で割る
＝－4/(e^x－e^-x)²
わからないポイント！
・ なぜe^xを最初に分母、分子にかけているのか？
・ (e^2x+1)/(e^2x－1)＝1＋2/(e^2x－1)の右辺の分子が1+2になっているのか？
・ 最後になぜe^2xで、分母、分子で割ってるのか？
・ 最後にe^2xでわって、分母が、最終的なこたえになる仕組みが、理解できない？
以上よろしくお願いします。

回答No.2

info33

わからないポイント！
・ なぜe^xを最初に分母、分子にかけているのか？
> 分母の微分を簡単にするため

・ (e^2x+1)/(e^2x－1)＝1＋2/(e^2x－1)の右辺の分子が1+2になっているのか？
> (e^2x+1)/(e^2x－1)=((e^2x -1)+2)/(e^2x－1)
={(e^2x -1)/(e^2x－1)} +{2/(e^2x－1)}
＝1＋ {2/(e^2x－1)}

・ 最後になぜe^2xで、分母、分子で割ってるのか？
> 分母が2乗だから

・ 最後にe^2xでわって、分母が、最終的なこたえになる仕組みが、理解できない？
> y= 1＋{2/(e^2x－1)}
y´=－2(e^2x－1)´/(e^2x－1)²
=－2・2e^2x/(e^2x－1)² ← 分母・分子を e^2x で割る
= -4 / {(e^2x－1)² / e^2x} = -4 / {(e^2x－1)² / (e^x)^2}
= -4 / {((e^x)^2－1) / (e^x)}^2
＝－4/(e^x－e^-x)²

お礼

丁寧な説明ありがとうこざいました。
とてもよく分かりました。
今後も精進しようと思います。

回答No.1

f272

> ・ なぜe^xを最初に分母、分子にかけているのか？

掛けても値は変わらない。分母にe^(-x)があるのが嫌だったんでしょう。

> ・ (e^2x+1)/(e^2x－1)＝1＋2/(e^2x－1)の右辺の分子が1+2になっているのか？

1は分子ではありません。1+分数です。

・ 最後になぜe^2xで、分母、分子で割ってるのか？

割っても値は変わらない。分子と分母の両方にe^(2x)があるのが嫌だったんでしょう。

・ 最後にe^2xでわって、分母が、最終的なこたえになる仕組みが、理解できない？

分子はe^(2x)が消えるだけです。
分母はe^(2x)で割ると，2乗の中身をe^xで割ることになります。

私ならこんな感じ。
y=(e^x+e^(-x))/(e^x－e^(-x))
=1+2e^(-x)/(e^x－e^(-x))
1を微分したら0で，残りは分数関数の微分です。(f/g)'=(f'g-fg')/g^2
y'=(-2e^(-x)*(e^x－e^(-x))-2e^(-x)*(e^x+e^(-x)))/(e^x－e^(-x))^2
=(-4)/(e^x－e^(-x))^2

お礼

f２７２さん、回答ありがとうこざいました。
とても参考になりました。
貴方のように、早く回答が出来るように、もっともっと数学を楽しみ力をつけたいと思います。
本当にありがとうこざいました。