tan^-1e^xの導関数（微分）

質問

tan^-1e^xの導関数（微分）について以下のように解いて見たんですが…
y=tan^-1e^xとおく
y'=(tan^-1e^x)'
=(e^x)'/(e^x)^2+1
=e^x/e^2x+1
となりました。解答・解説をお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

y=tan^-1(e^x)
tan(y)=e^x
両辺をxで微分
y'/{cos(y)}^2=e^x
y'=[{cos(y)}^2]*e^x
=(e^x)/[1+{tan(y)}^2]
=(e^x)/{1+e^(2x)}
となりますので微分は合っているようですね。

お礼

微分があってて良かったです。ありがとうございました。

回答No.1

sanori

こんばんは。

tan^-1　は　tan　の逆関数（arctan）のことでしょうか？
そして、
ｅ^x　は、arctan の中に入る、つまり、
arctan（ｅ^x）
ということでしょうか？

そうであるとして・・・

事前準備として、

ｙ　＝　ｅ^x
ｚ　＝　arctan（ｅ^x）　＝　arctanｙ
と置きます。

次に、arctan の微分を導出します。
（tanθ）’　＝　（sinθ／cosθ）’　＝　－｛－(sinθ)'cosθ ＋ sinθ(cosθ)'｝／(cosθ)^2
　＝　－｛－(cosθ)^2 －(sinθ)^2｝／(cosθ)^2
　＝　｛(cosθ)^2 ＋(sinθ)^2｝／(cosθ)^2
　＝　１　＋　(tanθ)^2　＝　ｄ(tanθ)／ｄθ
tanθ　＝　ｔ　と置けば、
ｄｔ／ｄθ　＝　１　＋　ｔ^2
よって、逆関数の微分より、
（arctanｔ）'　＝　ｄθ／ｄｔ　＝　１／（１＋ｔ^2）

では、本番です。

合成関数の微分より、
求める導関数　＝　ｄｚ／ｄｙ・ｄｙ／ｄｘ
　＝　d/dy(arctanｙ)　・　d/dx(ｅ^x)
　＝　１／（１＋ｙ^2）・ｅ^x
　＝　１／（１＋ｅ^(2x)）・ｅ^x
　＝　ｅ^x／（１＋ｅ^(2x)）
（　＝　１／（ｅ^(-x) ＋ ｅ^x ）　＝　１／｛２cosh(x)｝　）

cosh(x) については、こちら。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0

以上、ご参考になりましたら。
（どっか、計算を間違えていたら、ごめんなさい。）

お礼

ありがとうございました。参考になりました。