静岡大学数学について。

質問

次の問題で、∠AOD と∠SOEは同じだと思うのですが。
Eを通らずに、Dに行くのでしょうか？それなら納得がいくのですが。
意味不明ですみません。
教えていただけると幸いです。
https://okwave.jp/qa/q9645006.html

回答No.6

上野 尚人（@uenotakato）

解答の書き間違いがありました（おもにDとEの書き間違い）ので図とともに書き直します。
ーーーー
弧ABの中点をMとすると、この図形は直線OMに関して線対称であり、OM//SP//RQである。
OMとPQの交点をE、OMとRSの交点をDとする。
∠POM=α より PE = sinα、PE = cosα
よって SD = PE = sinα であり、直角三角形OSDで考えて（∠SOD = θ）
SD = OD * tanθ より OD = sinα / tanθ
以上より
PQ = 2PE = 2sinα、PS = ED = OE - OD = cosα - sinα / tan θ
長方形PQRSの面積は
2sinα * ( cosα - sinα / tanθ )
（2倍角より）
= sin2α - (1 - cos2α) / tanθ
= sin2α + (1 / tanθ) cos2α - 1 / tanθ
= (1 / sinθ) (cos2αcosθ + sin2αsinθ) - 1 / tanθ
= (1 / sinθ) cos(2α-θ) - 1 / tanθ
sinθは正なので、これが最大になるのはcos(2α-θ)=1 のとき。
0<α<θ<π/2 より 2α-θ=0 のとき面積最大。
よって α = θ/2 …（1）の答

このとき長方形の面積は
1 / sinθ - 1 / tanθ = (1 - cosθ) / sinθ … （2）の答

θ = 2αのとき
PQ = 2sinα、PS = cosα - sinα / tan2α
これが等しいとき
2sinα = cosα - sinα / tan2α
sinα / tan2α = cosα - 2sinα
sinα / (sin2α / cos2α) = cosα - 2sinα
sinα * cos2α = (cosα - 2sinα) * sin2α
（両辺を sinα ≠ 0 で割って）
cos2α = (cosα - 2sinα) * 2cosα
cos2α = (1 + cos2α) - 2sin2α
sin2α = 1/2
αは鋭角なので α = π/12
よって θ = 2α = π/6 … （3）の答

補足

∠POEとOEでも良いのではないのでしょうか？もう一度ご確認していただけると幸いです。
なぜ、∠POEではなく、∠POMなのでしょうか？意味不明な点があれば教えていただけると幸いです。