シュタッケルベルグ均衡

質問

先導者の利潤最大化の１階の条件がわからないので質問します。
はじめに先導者は生産量を決め、その後先導者の生産量を見て追随者が生産量を決めるという複占の市場を考えます。追随者は先導者の生産量がy1のときに、最適な生産量を決める反応関数y2=R2(y1)で生産量を決めるとします。需要関数y=D(p)その逆需要関数p=G(y)とすると、市場が均衡するためには市場全体の需要量は市場全体の生産量に一致しなければならないので、y=y1+y2となりこれにより生産物価格はp=G(y1+y2)として決まることになります。このとき先導者の利潤π1は、先導者の費用関数C1(y)、先導者は追随者が反応関数に従って生産量を決めると想定して、
π1=G{y1+R2(y1)}y1-C1(y1)となります。
先導者はこれを最大化するように生産量y1を決めます。ここからがわからないところです。この問題の１階の条件は、(dπ1/dy1)=(dG/dy){1+(dR2/dy1)}y1+G-dC1/dy1と教科書に書かれているのですが、自分はGやC1の変数は省略されたり、微分する変数を間違っていたりして、
(dπ1/dy1)=(dG{y1+R2(y1)}/dy1){1+(dR2(y1)/dy1)}y1+G{y1+R2(y1)}-dC1(y1)/dy1だと思うのです。また自分なりに計算するとy1+R2(y1)=uとおいて、π1=G{u}y1-C1(y1)これに積の微分と合成関数の微分とをつかい、
(dπ1/dy1)=(dG{u}/du)(du/dy1)y1+G{u}-dC1(y1)/dy1とすると右辺第１項の(dG{u}/du)が教科書の(dG/dy)とduとdyが違ってしまいました。どなたか自分の積の微分と合成関数の微分の計算の間違いを指摘してください。そして先導者の利潤最大化問題の１階の条件を教えてください。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

>この問題の１階の条件は、(dπ1/dy1)=(dG/dy){1+(dR2/dy1)}y1+G-dC1/dy1と教科書に書かれているのですが、自分はGやC1の変数は省略されたり、微分する変数を間違っていたりして、
(dπ1/dy1)=(dG{y1+R2(y1)}/dy1){1+(dR2(y1)/dy1)}y1+G{y1+R2(y1)}-dC1(y1)/dy1だと思うのです。

とありますが、教科書もあなたの計算もどちらも正しい。この場合
y = y1 + y2 = y1 + R2(y1)
だからです。したがって、G(y)と書いてもG[y1+R2(y1)]と書いてもかまわないのです。
なお、日本では、（・）を小括弧、｛・｝を中括弧、[・]を大括弧と呼び、この順に使いますが、世界（とくにアメリカ）では、｛・｝と[・]の順序は逆で、｛・｝は大括弧で、[・]は中括弧で、後者を先に、前者を最後に使います。私もこの順で使います。

お礼

文字の置き換えと代入のご指摘、ありがとうございます。

補足

よければお返事ください。自分でu=y1+R2(y1)と置いても、y = y1 + y2 = y1 + R2(y1)より、u=yと直せば教科書の1階の条件に等しくなる。でよいでしょうか？

回答No.2

statecollege

＞よければお返事ください。自分でu=y1+R2(y1)と置いても、y = y1 + y2 = y1 + R2(y1)より、u=yと直せば教科書の1階の条件に等しくなる。でよいでしょうか？

産業全体の生産量はｙと定義されているのだから、ｙを改めてuと書く必要はありません。混乱を招くだけだと思います。す。

お礼

お返事ありがとうございます。