開集合でもあり閉集合でもある集合

質問

（-∞, √2) は有理数上で、開集合でもあり閉集合でもある、と聞きました。

開集合というのは分かります。
たとえば、√2 付近で微少の数αを足して、この集合になるようなαは絶対にあるからです。

なぜ、閉集合なのでしょうか？

回答No.4

tenro · ベストアンサー

まず、有理数の集合Qの位相を実数の集合Rの自然な位相の相対位相で定義するとします。つまり、Rの開集合OとQの交わりをQの開集合と定義し、そのような開集合の族によって定義される位相を考えるとします。

このとき、あるQの部分集合Wが開集合であることはWの任意の元xに対して、ある正の数εがあって、xのε近傍（=xとの距離がε以内の点の全体）がWに属することと同値になります。ですので、Shogunさんの開集合の定義は正しいことになります。

（-∞, √2) が開集合であることはShougunさんの論理で正しいと思います。
（-∞, √2) が閉集合であることはNo.1のnakaizuさんの論理で正しいと思います。Mが閉集合というのは、その補集合（今の場合はQの中での補集合）が開集合であるということです。No.2のyakasaさんのいわれていることは実数の中での話しであり、今の場合その部分集合であるQの中の相対位相で考える必要があります。

補足

すっきりしました。ありがとうございます。

結構難しいのですね。

回答No.3

yaksa

おや、補足がついてた。

＃１さんの補足の定義なら、
[√2, ∞)の有理数が開集合になるので閉集合ですね。

この定義だと、距離空間に位相を導入するという形になっていますが、ほんとは、位相のほうが距離より原始的な概念ですね。距離空間なら位相空間ですが、逆は言えません。

回答No.2

yaksa

＃１さんも仰っていますが、有理数の集合の開集合（位相）の定義を定めてくれないと答えようが無いです。

実数上の自然な位相で考えるなら、
(-∞, √2)の有理数全体の集合の閉包は、
実数(-∞, √2]になるので（つまり有理数が稠密ってこと）、
(-∞, √2)の有理数全体は、閉集合ではないですね。

つまり、(-∞, √2)の有理数全体の補集合は、
(実数全体)-((-∞, √2)の有理数全体)
になりますが、実数上の自然な位相上では、これは開集合ではありません。

回答No.1

nakaizu

Shogun さんは開集合、閉集合の定義をしっかり理解していますか？「開集合であることは分かる」ことの説明からは、理解不足かお使いの教科書の開集合の定義が独特なものと思われます。
普通の定義では開集合は「（有限個または無限個の）開区間の和集合」として表される集合のことです。
補集合が開集合である集合を閉集合といいます。
（－∞、√2）の補集合は[√2,∞)ですが、√2は有理数でないために有理数上では[√2,∞)と(√2,∞)は同じ集合で開集合です。
つまり、補集合が開集合なので閉集合となります。

開集合の定義として違ったものを使っていたら、定義の内容を述べた上で改めて質問してください。

補足

nakaizuさん、ありがとうございます。

定義は、 http://en.wikipedia.org/wiki/Open_set を読みました。つまり、「集合U のどの点をとっても、正数 ε が存在して、x のε近傍 Bε(x) ⊂ U が成立するとき、U は開集合であるという」です。

このページの三段落目に

・・・First, there are sets which are both open and closed (called clopen sets); in R and other connected spaces, only the empty set and the whole space are clopen, while the set of all rational numbers smaller than √2 is clopen in the rationals.

とあって、ここが分からなかったのです。

その他同様の定義については
http://www.graco.c.u-tokyo.ac.jp/~kashiwa/sysI/2001/dis/node2.html
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/htop1.html
にもあります。

私の解釈とnakaizuさんの解釈をあわせて「開集合でもあり閉集合でもある集合」ということでしょうか？