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集合の濃度の問題です

有理数a,b(a<b)を端点とする開区間(a,b)全体の集合の濃度はNo(アレフゼロ)であることを証明せよという問題です。 わたしには全くわかりません。1から詳しくお願いします

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全ての有理数は自然数を分子、分母とした分数の形式であらわすことができます。 大きさが無限の碁盤の目を想像してください。 縦方向に分子xを割り当て、横方向に分母Yを割り当てると、無限に大きな碁盤であれば、全の有理数が割り当てられることが分かります。 つぎに、自然数Nをもってきて、碁盤の目を斜めに割り当てます。図を書くのが面倒なので言葉で説明すると、 (1,1)=1 (2,1)=2 (2,2)=3 (3,1)=4 (3.2)=5 (3,3)=6 (4,1)=7  ・・  ・・  ・ と割り当てて行けば、すべての升目に自然数Nを一対一で対応させることができます。 したがって、有理数全体の濃度は、自然数全体の濃度と同じ、つまりアレフ0であることが分かります。 開区間(a,b)は有理数全体の部分集合です。したがって、有理数全体の濃度よりも大きな濃度をもつことは有りません。 この部分集合が有限集合でないことが証明できれば、この部分集合もアレフ0であることが証明できます。 開区間(a,b)の任意の点Zを取ります。 いかなるZに対しても、(a+Z)/2の点が存在します。 したがって、開区間(a,b)は有限集合では無いことが証明されました。 以上により、開区間(a,b)全体の集合は無限集合であり、その濃度は可算濃度アレフ0であることが証明されました。 数学的表現方法を知らない大工が考えた説明だから、数学の授業の課題だとすると駄目かもしれねえが、意味は理解出るんじゃあんめいか?

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  • 回答No.5
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

一部加筆: S から N へは、例えば、 a, b を座標値とする点 [a,b] が 座標平面上第 k 象限にあるとして、

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  • 回答No.4
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

内容からいって、子供の質問ではないから、 「1から」の部分は自分でやらなきゃね。 小手先の技について、ちょっと協力してみようか。 要するに、 その区間の集合を S、自然数全体の集合を N として、 S から N への単射と、N から S への単射が どちらも存在することを示せばいい。 各ひとつづつ挙げて見せれば済む。 N から S へは、例えば、n → (n,n+1) がある。 S から N へは、例えば、 (a,b) が第 k 象限にあるとして、 a, b の絶対値の既約分数表示をそれぞれ p/q, u/v と置き、 (a,b) → (2のk乗)(3のp乗)(5のq乗)(7のu乗)(11のv乗) などでよい。

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  • 回答No.2
noname#152422
noname#152422

有理数全体の集合をQとしたとき、Q×Q(直積)からの写像を考えてみてください。

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  • 回答No.1

1 からということで、 まず、書店にいって本を探すことです 大学の演習なのか知りませんが、自分でときましょう。

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