次の微分方程式を下さい！（急ぎ）

質問

(α,βは正の定数)

x''=-αx+βy'
y''=-αy-βx'

私はそれぞれの式の和と差をだして
(x"+y")=-α(x+y)-β(x'-y')
(x"-y")=-α(x-y)+β(x'+y')
から求めようとしたのですが、それぞれの式にx+yの項とx-yの項が混ざり、うまくできませんでした。
また、x,y方向に同一の角振動数ωを仮定し式をたてやってみましたが、うまくできませんでした。

どのようにすれば解けますか？

回答No.1

info33

x''=-αx+βy' ... (1)
y''=-αy-βx' ... (2)

(1)より
x'''= -αx'+βy'' = -αx'-β(αy+βx') = -(α+β^2)x' -αβy
y= -{x''' +(α+β^2)x'}/(αβ) ...(3)

(2)に代入
-{x''''' +(α+β^2)x'''}/(αβ)= α{x''' +(α+β^2)x'}/(αβ) -βx'
{x''''' +(α+β^2)x'''}+α{x''' +(α+β^2)x'} -αβ^2 x' =0
x'''''+(2α+β^2)x'''+α^2 x' =0 ... (4)
これを解いて x(t) を求める ....

x(t)を(3)に代入すれば y(t) が求まる ....